倍角、半角、和差化积公式.doc

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1、倍角、半角、和差化积公式一.教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式 二.教学目的1.了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2.掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。 三.教学重点、难点重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正

2、弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。难点：能够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。 四.知识分析（一）两角和与差的余弦1、两角差的余弦公式推导方法1：向量法把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设的终边分别与单位圆交于点Pl(，)，P2(，)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。图1设向量则。另一方面，由向量数量积的坐标表示，有        于是，对于任意的，都有上述式子成立。推导方法2：三角函数线法设、都是锐角，如图2，

3、角的终边与单位圆的交点为Pl，∠POP1      ＝，则∠Pox＝。过点P作MN⊥x轴于M，则OM即为的余弦线。在这里，我们想法用的三角函数线来表示OM。图2过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过P作PC⊥AB于C，则OA表示，AP表示，并且∠PAC＝∠P1Ox＝，于是即    要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的，在此就不进行研究了。2.两角和的余弦公式比较与，并且注意到与之间的联系：则由两角差的余弦公式得：即     3.对公式的理解和记忆（1）上述公式

4、中的都是任意角。（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如，等。 （二）两角和与差的正弦1.公式的导出即          2.公式的理解（1）一样，对任意角均成立，是恒等式。（2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。如                              （3）明确公式的区别与联系：两公式右边均为两乘积项和差形式，但公式中，左边为角的“和”或“差”，右边也为两项之“和”或“差”，而公式中，左边

5、为角的“和”或“差”，右边则为两项之“差”或“和”，另外公式中右边两项均为角的异名函数之积，牢记公式，才能正确使用这些公式。3.函数的最值（a、b为常数，为任意角）将函数化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项之“和”式，所以考虑应用两角和与差的正弦、余弦公式，可化为一个三角函数形式，化简过程如下：                    也可如下化简：                 即注：此处内容与教材P143的例4是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同学们灵活掌握，运用自如。 （三）两角和与差的正切1.正切公式的

6、推导过程当时，将公式的两边分别相除，有      当cosαcosβ≠0时，将上式的分子分母分别除以cosαcosβ，得：      由于，   在中以－β代β，可得    2.公式的理解   （1）公式成立的条件   ①公式在，α－β≠时成立，否则是不成立的。   ②当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式，处理有关问题时，应改用诱导公式或其他方法来解。   （2）公式的变形形式   ①由得      ②由得   ；   。 （四）倍角公式 1.本节中公式的证明过程较为简单，只要将中的β换作α即可得

7、到的形式，再结合平方关系可推得。 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形      另外，。   公式还可变形为升幂公式：   ，   降幂公式：   以上公式中除且α≠外，其余公式中角α为任意角。 （五）半角的正弦、余弦和正切 1.应用三个半角公式时，要特别注意根号前的符号，选取依据是所在的象限的原三角函数的符号。同学们往往误认为是根据cosα的符号，确定，、的符号。   如α为第二象限角，且，则为第一或第三象限角，∴可正可负，可正可负，为正。      ，    2.公式，共有三个，即，显然公式由于符号问题有时不方便，后

8、两个无符号问题，但易记混淆。对于后两个公式关键是明确公式的推导，如下：   ，同理可推得，后两个公式在化简中往往起到事半功倍的效果。 3.升幂公式：   降幂公式，，等同于倍角公式的升幂与降幂公式。   升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在应用时要根据题目的角的特点，函数的特点及结构特点