一类带超临界耗散的输运方程的整体解.pdf

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1、一类带超临界耗散输运方程的整体解院系:数学科学学院专业:应用数学姓名:顾旭吴指导教师:雷震副教授完成日期:2011年4月指导教师:雷震副教授指导小组成员:李大潜教授周忆教授肖体俊教授王利彬副教授王志强副教授GIObalwellPosednessforatransPortequationWithSuPer一critialdissiPationbyXUminGU(APPliedMathematicsDissertationSuPervisor:AssoeiateProfessorZhenLei目录目录中文摘要.............·······················……Abstra

2、ct......................................……第一章前言......························……’·第二章一些理论准备......................……4门︸J︸g2j﹃Q、︸勺一、6CQO2.1连续性模............··················……2.2分数阶LaPface算子的表示.............……2.3极值原理.....···················……”‘’‘’第三章连续性模控制被打破的情形........……第四章对流项及耗散项估计...............……4.

3、1对流项估计.................··········……4.2耗散项估计..................·········……第五章连续性模的构造...................……，1JI5.10三石三百二5.1.1对流项l35.1.2耗散项l35.2石>百.……︸J1ile.46︸Qe.O5.2.1对流项5.2.2耗散项第六章全局正贝lJ性…6.1方程的尺度不变量l86.2、(动的尺度调整…l9勺︶1、.参考文献22致谢.…一I一中文摘要刁石摘3(Pconstantin，P.D.Lax，A.Majda为了研究不可压流体三维涡度方程，提出了一个带非局部速度的一维输运

4、方程([3]).该方程保留了一些三维涡度方程的重要结构特性，因此有比较重要的研究意义.本文主要研究了该方程带超临界耗散的整体解的情况.在已知的该方程的局部解的存在性结果基础上，我们通过构造一族特殊的连续性模([l])，并使用分数阶L叩laee算子表示公式([2])估计方程的超临界耗散项，从而得到了局部解的导数的Lco模一致估计，从而证明了该方程在周期初值在满足某种意义上“小”的情况下整体解的存在性.关键词:超临界耗散，连续性模，分数阶Laplace算子，整体解中图法分类号:0175.22英文摘要AbstraCtW己studyaone一dimensionaltransPortequationw

5、ithnon一loealvelocityandsu-PereritialdissiPation.Usingthemethodsofmodulusofeontinuityintrodueedin[l]andfraetionalL叩lacianrePresentationintrodueedinfZ]，weProveitsglobalwell-PosednessforsmallPeriodieinitialdatainH6ldersPaees.KeyW6rds:suPer一eriticaldissiPation，modulusofeontinuity，fraetionalLaPlaeian，gl

6、obalregularityChineseLibraryClassifieationnumber:0175.22111第一章前言第一章前言不可压缩流体在演化的过程中会不会产生奇性是理论流体力学中的基本问题.也就是说，如果流体从一个光滑的初始条件开始演变，那么解是否始终是光滑的?对于二维的不可压缩的Euler方程，我们已经知道方程的解是不会产生奇性.但是对于三维的情况，这一问题仍然没有结果.为了解决这一问题，数学家们提出了一些低维的模型方程进行研究，试图从中获得一些启发.如([3j，[4]以及[5]).对于3维的不可压缩流的涡度方程:了、.1l、产、.一1切。+vV田=曰·V勺.Peonsta

7、ntin，Po.Lax和A.Majda在[3]中，提出了一个一维数学模型简化、:=H(、)、.(1.2)其中，H(司表示关于函数、的Hilbert变换，由下式定义:尸+汉./。八.了、Jl勺、州、准)一尸.V/巴里二心.!J一笑不一以尽管方程本身很简单，但是它保留了大部分涡度方程(l.1)的最重要的结构特征.进一步的，为了在这一模型(l.2)中考虑非局部速度的对流项、以及粘性耗散项，提出了下面的输运方程:乡: