一类抛物型方程的局部解和整体解

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1、一类抛物犁方程的局部解和整体解1绪论偏微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多领域内有着非常广泛的应用，如在几何学、力学、天文学、物理学、生物学等领域内已成为不可或缺的工具。在空间技术、高能物理、电子技术、现代生物学、经济学等领域内，偏微分方程的理论和方法已经成为推动这些学科发展的强有力的杠杆。在偏微分方程及方程组的研究中，对自由边界问题的研究是一个较为活跃的分支，研究它有助于人们对物质运动规律的认识。对于含有时间参数的方程组的自由边界问题，有些问题只在一段时间内有解，即有局部解；而有些是对任意的时间都有解，即有整体解。在非线性偏微分方程的理论中，到目前为止高维情形研究的难度较大，

2、所得的理论结果不多，但当空间维数为一维时，可化为非线性的常微分方程去讨论，研究的成果比较多。1．1问题产生的背景燃烧是自然界中一种普遍存在的自然现象。燃烧是指燃料与氧化剂发生强烈化学反应，并伴有发光发热的现象。燃烧现象的研究起源18世纪中叶，法国化学家拉瓦锡和俄国科学家罗蒙诺索夫根据他们的实验，分别提出燃烧是物质氧化的理论。19世纪，人们用热化学和热力学方法研究燃烧。20世纪20年代，苏联科学家泽利多维奇、弗兰克·卡梅涅茨基和美国的刘易斯等又进一步发现：燃烧现象，无论是着火、熄灭和火焰传播，还是缓燃和爆震等，都是化学反应动力学和传热传质等物理因素的相互作用，并得出这样一个方程(见[

3、1】)：高校教师在职硕十学位论文对静止的混合物燃烧，当热量以小的马赫数传导时，则反应过程满足抛物线方程组其中参数占表示活化能的倒数，且00，L表示反应率，是一个由参数s决定的已知函数，且正：R—R，丘(s)=占2／k一‘o—1)J。在以后的几十年中，众多物理学家和数学家研究并建立了大量关于燃烧现象的数学模型，并在数值计算以及理论的定性研究上取得了巨大的进展(见【3】．【ll】)。到了20世纪70年代初，由于高速电子计算机的出现，英国科学家斯波尔丁等人提出了一

4、系列燃烧的数学模型和数值计算方法。1982年VanDuyn(见[12】)和Peletier(见[131)发表了关于方程(1．1)的第一边值问题的研究结果，包括解的正则性，弱解的存在唯一性，饱和区域与非饱和区域在交界面的连续性。后来在1987年他们又提出了椭圆形情形，并得到了方程的自由边界问题(见[141)同时也证明了自由边界问题解的连续性。2009年Anne—Langlois和Martine．Marion(见[15】)研究了当s一0时方程(1一1)解的渐近性。他们证明了若0≤沙。≤1时，函数H。=0。+qz；一1=D(￡)，则有色≤1+c￡，令h。=￡-tH。，方程(1．1)可转化

5、为：．’．，以f，～够正歹扩oV虬一叫一盟瓤可丝a≯^G一，●●●●●●●，‘●●●●●●【～类抛物刑方程的局部解和粘体解1．2本文的结构和主要工作本文的结构。本文就是对方程(1．2)的极限方程进行讨论。全文共分三章，第一章是预备知识，主要是为后面两章要讨论的问题做准备。第二章讨论方程(1．2)1钓I极限方程旯≠0时的自由边界问题局部解的存在性和唯一性。这里首先对-*NStefan问题(见[161)作一个简要的回顾。1973年由Duvant在[171qhiiEN了一相Stefan问题的弱解的存在性。Friedman(见【18】)与Kinderlehrer(见【19】)使用Duvan

6、t提供的变换(见【20】)进一步证明了自由边界问题解的Lipschitz连续性。但这些结果还没有证明局部解的存在性。1978年Kinderlehrer和Nirenberg在[21】中运用【22]、【23]与[24】的结果并且引入Legendre-Tau变换(见[25】)并结合使用边界固定的方法从而得到一相Stefan问题局部解的存在性，第二章的证明就是参考这一种方法。第三章讨论的是旯：0时该自由边界问题整体解的存在性与唯一性。1979年Meirmanov(见[26】)(也可见【27】[28】)通过构造特殊的关于Stefan条件的正则化并且引入Miss变量证明了问题在比较小的时间段里

7、整体解的存在性，但这种方法只适合处理未知函数在自由边界为常数的情形。与[26】_[28】类似Hanzava(见[29】)用Nash．Moser隐函数定理把问题的可解性转化为边界条件含有时间导数的线。陛luqNNn--IN性。后来，Radkevich和Melikulov(见【30】)使用了Newton迭代法(见[3l】)也得到同样的结果，但其主要的证明步骤和Hanzava的相比并没有什么变化。基于这一思想Bodrignes与Degtyarer以％『，Lf—r触盟酽f、巩