抛物型方程数值解.pdf

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1、数学与计算科学学院实验报告实验项目名称抛物型微分方程数值解所属课程名称微分方程数值解实验类型验证性实验日期2015-4-23班级信计12-2班学号201253100212姓名黄全林成绩一、实验概述：【实验目的】掌握抛物型方程的有限差分法，并学会应用有限差分法求解抛物型方程数值解的MATLAB实现。本文利用向前差分法求解抛物型方程的数值解。【实验原理】抛物型方程的先前差分法求解：方程离散：n1nnnnuuu2uujjj1jj1sint,j1,,J1,n1,,N2nh边值条件：n1n

2、nnnu0u0u12u0u1nnsin,tuu,j0，2n11hn1nnnnuJuJuJ12uJuJ1nnjJ,2sin,tunJ1uJ1.h初值条件：uxj,0cosxj,j0,1,,J.【实验环境】1.硬件环境第1页共17页2.2.软件环境MATLAB7.0二、实验内容：【实验过程】（实验步骤）实验任务求解一维抛物方程的初边值问题：2uusin,0tx1,t0,2xxux0,tux1,t0,t0,ux,0cosx

3、,0x1.2t精确解：uecosx1cos.t利用向前差分法求解利用MATLAB进行求解，编辑函数文件hql_xiangqianchafen.m。源程序见附录。编辑调用函数hql_xiangqianchafen(h,m,n,kmax,ep)的脚本文件，并作出相应的求解曲面、精确解曲面和误差曲面图形。hql_paowufangcheng.m源程序见附录。运行上述hql_paowufangcheng.m文件：（1）当空间步长为0.1，时间步长为0.005时，结果如下：第2页共17页求解曲面：精确解

4、曲面：误差曲面：第3页共17页通过相应曲面的对比，可以发现，此时精确解与数值解图形逼近效果明显趋同。下面分别固定空间x和时间t，观察数值解与精确解的逼近程度。A.时间固定，空间x与u的关系：数值解：精确解：第4页共17页误差：数值解与精确解在x方向上的走势趋同。B.空间x固定，观察时间t与u的走势，结果如下：第5页共17页数值解：精确解：误差：第6页共17页可以看出在时间方向基本趋同。（2）缩小步长，观察对输出的影响，取空间步长为0.1，时间步长为0.001，输出结果为：求解曲面：第7页共17页精确解曲面：误差曲面：

5、第8页共17页通过相应曲面的对比，可以发现，此时精确解与数值解图形逼近效果明显趋同。下面分别固定空间x和时间t，观察数值解与精确解的逼近程度。B.时间固定，空间x与u的关系：数值解：第9页共17页精确解：误差：数值解与精确解在x方向上的走势趋同。第10页共17页B.空间x固定，观察时间t与u的走势，结果如下：数值解：精确解：第11页共17页误差：可以看出在时间方向基本趋同。第12页共17页【实验小结】（收获体会）通过此次上机亲自体验，使我对于数值计算有了更加深刻的认识。同时，我也感觉自己的编程能力还有待提高，这对于数

6、值计算是至关重要。这直接影响到了程序的效率以及程序的运行时间以及计算精度。在以后的学习中，更应该加强这方面的锻炼。三、指导教师评语及成绩：评语等级评语及优良中不及格格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确.成绩：指导教师签名：批阅日期：附录：源程序第13页共17页函数文件：文件名：hql_xiangqianchafen.mfunction[puext]=hql_xiangqianchafen(h1,h2,m,n

7、)%解抛物线型一维方程向前欧拉格式（Ut-aUxx=f(x,t),a>0)%不用解线性方程组，由下一层(时间层）的值就直接得到上一层的值%m,n为x,t方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;%e为误差，p为精确解u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h1;t=0+(0:n)*h2;for(i=1:n+1)u(i,1)=0;u(i,m+1)=0;endfor(i=1:m+1)u(1,i)=cos(pi*x(i));endfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)f(i,j)=0;ende

8、ndr=h2/(h1*h1);%此处r=a*h2/(h1*h1）；a=1要求r<=1/2差分格式才稳定for(i=1:n)for(j=2:m)u(i+1,j)=(1-2*r)*u(i,j)+r*(u(i,j-1)+u(i,j+1))+h2*f(i,j);endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)p(i,j)=exp(-pi*p