一类弱耗散Camassa-Holm方程Cauchy问题在Besov空间解的局部适定性

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1、数学年刊2013，34A(4)：415-428一类弱耗散Camassa-Holm方程Cauchy问题在Besov空间解的局部适定性冰明森杨晗提要利用Littlewood—Paley理论和输运方程解的先验估计，在Besov空间中证明了一类弱耗散Camassa-Holm方程Cauchy问题解的局部适定性，同时给出了解的能量估计及爆破准则．关键词弱耗散Camassa-Holm方程，局部适定性，Besov空间，爆破准则MR(2000)主题分类35Q53，35B35中图法分类O175．29文献标志码A文章编号1000—8314(2013)04—0415—141引言本文研究

2、一类具弱耗散的Camassa-Holm方程的Cauchy问题2+[]。州。2，(1．1)I(0，)=u0(x)，X∈，其中，，≥0，∈且均为常数，m，n是正整数．g：一是给定的Cmo连续函数，满足g(0)=g／(0)=0，mo为正整数．若(1．1)中的==0，，y=1，9(r“)=3u，即得到被称为浅水波方程经典模型的Camassa-Holm方程[】“t一zt+2ku+3uu∞=2uzz+t￡“zzz．(1．2)方程(1．2)可用来描述引力作用下浅水自由表面单向传播的流体，其中u(t，X)是流体的速度，k是一个与临界浅水速度相关的非负参数．从模型(1．2)导出以

3、来，已有许多学者研究了它的各种动力学性质．如Xin和Zhang[。]对初值没有任何符号条件假设，在空间日()中，证明了方程(1．2)弱解的整体存在性；在一些假设条件下，证明了弱解的唯一性【3J．Constantin和Escher[]研究了方程(1．2)周期解的局部适定性、整体存在性和爆破现象．Bressan和Constantin[]给出了方程(1．2)解的整体存在和爆破的最佳条件．Constantin，Mckean[]和Constantin[8]利用逆散射方法研究了方程(1．2)．Li和Olver[。]建立了方程(1．2)解的局部适定性，并给出了导致某些解在有限

4、时间爆破的条件．更多相关结论可参看Zhou和Guo等人的工作[10-20]．Wu和Yin[]在空间日)(s>导)中研究了一类带耗散项的Camassa-Holm方程Ut～?-txxt+3uuz+(，f上)=2u札+U'tt，(1．3)这里L(u)=(札一)是一个耗散项．在文【21]中，Wu和Yin利用Kato定理得到了方程(1．3)解的局部适定性，同时给出了解的爆破的充要条件和爆破速率的估计．本文2012年5月2日收到，2012年10月14日收到修改稿．西南交通大学数学学院，成都610031．E—mail：senming1987@163．corn；hanyang9

5、5@263．net本文受到国家自然科学基金(No．71003082)和中央高校科研业务费(No．swJTul2cx061，No．SWJTU12ZT13)的资助．416数学年刊34卷A辑赖绍永和吴永洪[22】对一类具弱耗散的广义Camassa-Holm方程t一踟：t+2ku+3uu+(钆)=2u茁z+r“钆黝：(1．4)进行了研究，其中(乱)=u0n+L钆U称为弱耗散项．他们在Sobolev空间日)(8>)中证明了方程(1．4)解的局部适定性，同时给出了在空间日。(酞)(1

6、1，9(u)=3u)．苑佳【23】在方程(1．1)中没有非线性项Au2n+和ZuZmu(即没有弱耗散项)的情形下，在Besov空间．(R)中研究了广义Camassa-Holm方程Cauchy问题解的局部适定性．本文拟在Besov空间中研究一类具弱耗散的广义Camassa—Holm方程(1．1)的Cauchy问题解的适定性和能量估计与爆破准则．由于非线陛项。叶和。的出现，已有文献中建立的守恒律对问题(1．1)解的估计失去了作用．为此，我们利用输运方程解的估计在Besov空间中建立问题(1．1)解的局部适定性．从而将赖绍永和吴永洪[22]研究的结论推广到Besov空

7、间中，并得到类似经典模型(1．2)的解的爆破准则(见下面定理1．3)．为方便记，我们将问题(1．1)改写为ut+"／uuz：尸(D)[+-7j2一u]+P1(D)(。州⋯／9。xx)，(1．5)Iu(0，)=u0()，∈酞，其中P()=一(1一。)_。，(D)=(1一。)_。．本文的工作空间是r71、一([o，】；，)nC([0，】；Bp,r)，1≤r<。。，p，一l([0，]；B；，o。)nLip([0，]；，-o。1)，r=∞，其中T>0，8∈R，P∈【1，co]，r∈【1，co]，Lip空间是指具有一阶有界导数的连续函数组成的空间，其元素的范数是自然导出的

8、范数．对于问题(1．1)