耗散KdV方程Cauchy问题的适定性【毕业论文+开题报告+文献综述】

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1、本科毕业论文开题报告数学与应用数学耗散KdV方程Cauchy问题的适定性一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义(一)国内外的研究动态1834年,英国科学家J.S.Russell发现了浅水波孤立波.在从爱丁堡到格拉斯哥的运河上观察到水波的一种奇特现象,即后来被理论和实验所证实了的孤立子现象,他通过实验模拟这一现象,认为这种孤立波的波动是流体力学方程的一个稳定解,但未能从流体力学出发给孤立波以合理的理论解释.直到1895年,两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与德弗雷斯(deVries)才对浅水槽中单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论分析,导出了著名的KdV方程,并给出了充分

2、的解释.1994年,在Station.TX大学举办的第31届工程数学年会特别会议上重点讨论了小波分析的应用和小波Galerkin方法.1995年,在国际计算力学会上,重点讨论了小波分析的最新进展,一些有希望的应用领域,特别应用于偏微分方程.利用小波分析研究偏微分方程目前己取得一定的进展.Berkez,Homles等采用小波作为一个直接工具来处理和模拟有关水流和湍流问题.1997年,Peter.Oswald利用小波分析研究定义在上有界实区域边界椭圆型微分方程,得到了一些结果;Joly.Maday.Perrier运用小波包技术来处理非线性演化方程,他们给出了在特殊情况下如何选择一个好的小波基,并应

3、用于以时间为变量的偏微分方程;在实际问题中,许多物理过程产生不规则的结果,如关于高雷诺数的湍流的研究,至今仍没有很好的结果,而小波特别适合刻画这种不规则性.Beylkin和Keiser研究非线性偏微分方程;VonPetersetorff用小波分析来研究积分方程;Angeltti,Mazet和Tehamitchia把小波作为工具来研究微分算子,等等.1986年到现在,13我国著名学者钱敏、田立新、徐振源等从不同角度研究和发展了斑图研究中的有关问题,如低维系统中斑图时空混沌的研究获得尸耗散算子的极大扩张表示,为研究非自共扼的NLS方程作了必要的研究基础;田立新引入小波近似惯性流形概念,用小波分析研

4、究一类非线性孤立波方程的长期动力学行为.另外,赵向青、崔尚斌、赵志峰等学者对耗散KdV方程及其他非线性方程的Cauchy问题的适应性也获得了一些研究.这类KdV方程被广泛的用于水波的流体力学,数学物理方程,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解KdV这类孤立波微观和宏观系统的性质.KdV方程常用来解决量子力学中的粒子问题,KdV方程的解也遵循一般的能量、动量、质量守恒定律与量子力学所描述的微观粒子相比,孤立子遵循经典运动规律,服从牛顿运动方程或哈密顿运动方程.KdV方程常用来解决量子流体力学中的水波问题,在原子物理、质子、统计力学等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好.众

5、所周知,孤立波现象是波动过程中非线性效应与色散现象互相平衡的结果,KdV方程有孤立子解,为了研究这类方程的孤立子现象,人们提出了大量的求精确解的方法,例如:直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法等,所得孤立子的类型包括:钟状孤立子,环状孤立子,扭状孤立子,包络孤立子等.KdV方程解的局部适定性的基本研究方法是应用Banach不动点原理结合线性方程的各类先验估计(Strichartz估计)而得到,人们称此方法为Kato方法,此后,鉴于线性结构,J.Bourgain建立了与方程相适应的Bourgain空间,Bourgain方法由此产生.解的整体适定性问题研究的基本方法是在局部适定性的基

6、础上,借助于先验估计、方程的守恒律等性质对解做延拓而得到.八十年代以来,对KdV方程的解的整体存在性的研究提出了一些新的处理方法,例如J.Bourgain提出了高低频方法,T.Tao提出了几乎能量守恒法,这些方法适用于解决当初值的正则性不太高时的解的存在性,即低正则性问题.(二)选题的依据和意义为了描述复杂系统中的空间关联和随时间发展发生的复杂现象,人们发展了各种数学理论来描述它，其中最重要的描述方式之一为无穷维相空间的偏微分方程.在物理上人们提出了一大批非线性发展方程,如描述浅水波孤立波运动的KdV方程.这个方程与孤立波现象的发现有着密切的联系.近年来,KdV方程被广泛的用于水波的流体力学、

7、等离子体物理、非线性光学等许多领域.通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解KdV这类孤立波微观和宏观系统的性质.然而,不管是国内还是国外,对KdV13方程解的适定性的研究仍然存在很大的不足.偏微分方程的适定性是微分方程理论中的基本问题,主要解决解的存在性,唯一性和稳定性.现在描述孤立波现象的方程包括修正方程很多,重要的如耗散KdV方程、Burgers方程,其中耗散KdV方程是许多