耗散KdV方程Cauchy问题的适定性【文献综述】

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1、毕业设计文献综述数学与应用数学耗散KdV方程Cauchy问题的适定性为了描述复杂系统中的空间关联和随时间发展发生的复杂现象,人们发展了各种数学理论来描述它,其中最重要的描述方式之一为无穷维相空间的偏微分方程.近年来,物理上提出了一大批非线性发展方程,如描述浅水波孤立波运动的KdV方程.这个方程与孤立波现象的发现有着密切的联系,1834年英国科学家J.S.Russell在从爱丁堡到格拉斯哥的运河上所观察到一种奇特得水波现象,他通过实验模拟这一现象,认为这种孤立波的波动是流体力学方程的一个稳定解,但未能从流体力学出

2、发给孤立波以合理的理论解释.直到1895年,两位荷兰科学家科特维格（Kortweg）与德弗雷斯（deVries）对浅水槽中单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论分析,提出了KdV方程,最终从理论上得到孤立波现象较满意的解释.后来在非线性光学研究中发现这种现象是波动过程中非线性效应与色散现象互相平衡的结果[1].孤子理论是20世纪最伟大的科学发现之一.虽然罗素当年未能从流体力学出发给孤立波以合理的理论解释,孤立波未能引起人们的充分重视,但是后来许多研究者从不同领域研究并应用孤子理论,例如1955年,在乌莱姆领

3、导的美国阿尔莫斯国家实验室,著名物理学家费米（E.Fermi）、帕斯塔（J.Pasta）和乌莱姆数值计算了用非线性弹簧联结的64个质点组成的弦的振动,目的是从数值实验上验证统计力学中的能量均分定理[2].他们对少数质点进行激发,按照能量均分原理,经弱的非线性长时间相互作用后,初始的激发能量应有涨落地均衡的分布到每个质点.然而计算结果令人意外,长时间以后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态.这个结果预示着这个非线性系统可以出现孤立波.这就是著名的FPU问题.1965年,美国数学家采布斯基（Zabusky）

4、与克鲁思卡尔（Kruskal）[3],把FPU的非线性振子系统的能量不均分问题与KdV方程联系了起来.此后人们发现,在许多物理体系中都存在KdV方程,说明孤立波是一种普遍存在的物理现象.于是KdV方程被看作为数学物理的一个基本方程.孤立波被发现后就在应用领域，如流体力学、等离子体物理、非线性光学等许多领域发挥重要作用,特别是非线性光学中的重要应用——“孤子用于光纤通讯”3,该发现被授予Nobel物理学奖.在强大的应用推动下,孤子的数学理论,如适定性,稳定性等越来越受到关注,许多世界顶级数学家,T.Kato,J.

5、Bourgain,T.Tao等加盟其中,使得这方面的研究炙手可热.偏微分方程的适定性是微分方程理论中的基本问题,主要解决三方面,即解的存在性,唯一性,解对定解条件的连续依赖性.描述孤立波现象的方程包括修正方程很多,例如Schroding方程、KdV方程、耗散KdV方程、Burgers方程等.特别地,耗散KdV方程是许多领域中孤立波现象的模型,如在长波小振幅近似下可描述离子体的磁流体波的运动,等离子体和声波两种混合态的压力波,管底下部流体的运动,低温下非线性晶格的声子波包的热激等[9].色散方程Cauchy问题的

6、低正则性是由Kato在上世纪80年代开创的[4,5],基本研究思想是应用Banach不动点定理结合各类先验估计去证明局部适定性.Strichartz估计在早期的研究中发挥重要的作用;后来,J.Bourgain引进了Fourier变换限制范数方法（Bourgain方法）,双线性估计成为了关键[6];Fourier变换限制范数方法被进一步推广用于色散-耗散方程,例如M.Otani对耗散KdV方程的研究[7].解的整体适定性问题研究的基本方法是在局部适定性的基础上,借助于先验估计、方程的守恒律等性质对解做延拓而得到.

7、八十年代以来,对KdV方程的解的整体存在性的研究提出了一些新的处理方法,例如J.Bourgain提出了高低频方法[8],T.Tao提出了几乎能量守恒法[9],这些方法适用于解决当初值的正则性不太高时的解的存在性,学术贡献是突破性的.田立新[10]引入小波近似惯性流形概念,用小波分析研究一类非线性孤立波方程的长期动力学行为.郭柏灵[11]、苗长兴[12]、王保祥[13]、崔尚斌[14]等学者在发展方程低正则性研究方向上取得了重要进展,另外,赵向青[15,16]、赵志峰[17]对耗散KdV方程及其他非线性方程的Ca

8、uchy问题的适应性也获得了一些重要结果.本课题的研究对象是一类含有耗散项的耗散KdV方程:在定义工作空间（Sobolev空间,Bourgain空间）的基础上,需要建立关于耗散项的估计,最终拟用Banach不动点定理证明这类耗散KdV方程Cauchy问题的适定性.3参考文献[1]Hasegawa,F.Tappert.TransmissionofStationaryNonlinearop