一维波动方程Cauchy问题解的适定性文献综述

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1、文献综述一维波动方程Cauchy问题解的适定性一、前言部分在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到,对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。对一维波动方程Cauchy问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。以下是本文经常要用到的一些概念：1、一维波动方程的定义定义1，（1.1）其中，方程（1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称

2、它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出它适合的初始条件和边界条件。定义2初始条件即必须给出弦上各点在初始时刻的位移和速度：（1.2）这里为已知函数。定义3边界条件一般来说有三种。16（1）已知端点的位移变化，即（1.3）特别当时，称弦线具有固定端。（2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即（1.4）特别当时，称弦线具有自由端。（3）已知端点的位移与所受外力的作用的一个线性组合（1.5）特

3、别当时，表示弦的两端固定在弹性支承上，分别表示支承的弹性系数。定义4边界条件和初始条件统称为定解条件。定义5我们把方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件，一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题。2、波动方程的定义定义6如果我们考虑的是膜的振动或者声波在空气中的传播，用来描述这些二维和三维波动现象的微分方程仍然具有和方程（1.1）相似的形式：（1.6）16这里是Laplace算子，是维数。通常我们把方程(1.6)称为波动方程。3、Cauchy问题的定义定义7所谓初值问题（Cauchy问题）即在上定义一个函数，使它在内适合方程（1

4、.6），而在上适合初始条件  定义8不必考虑边界条件，我们把在区域上，由方程（1.1）和初始条件（1.2）组成的定解问题称为弦振动方程的初值问题（或Cauchy问题）。4、定解问题的适定性定义9如果一个定解问题的解存在、唯一、稳定，那么我们称这个定解问题是适定的。因为定解数据（如初值、边值和方程的非齐次项等）一般都是通过实际测量得到的，它不可能绝对正确，所以人们关心对于定解数据的微小差异是否会引起解的完全失真？这就是解的稳定性问题，即解是否连续依赖于定解数据？当然讲大小就要先引入度量。定义10设是一个函数集合，如果对于任意两个函数，必有

5、那么称是线性空间。如果对于任意，都有一个非负的实数与它对应，且适合（1）若则（2）若则16（3），其中等号当且仅当时成立，那么称为线性赋范空间，称为的范数或模。定义11解的稳定性的定义:以弦振动方程的混合问题为例。我们说混合问题的解对初值是连续依赖的，这意味着如果把初值看作是线性赋范空间中的元素，而把相应的混合问题的解看作是线性赋范空间中的元素，则对于任意以及相应于它们的解，有：,当时，有5、叠加原理的定义定义12几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果（即假设其他原因不存在时，该原因所产生的效果）的累加。例如，几个

6、外力作用在一物体上所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产生的加速度相加而得出。这个原理称为叠加原理。6、特征线的定义定义13我们称下列常微分方程初值问题的解为方程的特征线，其中为常数。7、能量积分的定义定义14对于弦振动问题，表示弦元素在时刻所具有的动能，表示弦元素在时刻的应变能（或称势能）。因此不计常数因子，表达式表示弦段在时刻的总能量。在数学上，我们称它为能量积分，或称为解的能量模。8、古典解与广义解的定义16定义15我们把扩大了解的函数类以后得到的解称为广义解，而把原来的二次连续可微解称为古典解。那么这里有两条原则

7、应予考虑：A．古典解必是广义解；B．广义解是唯一的，且按某种度量连续依赖于定解资料。二、主题部分文献[1]阐述了一阶线性方程的特征线解法，给出了用特征线方法解一阶偏微分方程的步骤：1.求特征线；2.沿特征线将原方程化为关于的常微分方程（其中c为参数），并求出；3.从特征线方程解出，则所求的解为。此外，文献[1]还阐述了用特征线法解波动方程的初值问题的过程,所用的知识是能量不等式和Gronwall不等式：定理1（能量不等式）设是定解问题的解，则有估计16其中引理2（Gronwall不等式）若非负函数在上连续可微，，且对有其中为常数，为上不

8、减的非负可积函数，则文献[2]利用叠加原理、自变量变换、齐次化原理求解一维波动方程的Cauchy问题：得到了达朗贝尔公式：（3）并给出了如下定理：定理3设那么初值问题16存在唯一的解，它由达朗贝尔公式（3）