【苏教版】高中数学必修5同步检测：第1章_章末知识整合_含答案.doc

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1、章末知识整合[整合·网络构建]专题1　利用正弦、余弦定理解三角形[典例1]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.分析：(1)由已知等式的特点，利用正弦定理把已知等式转化为边之间的关系，然后再结合余弦定理求解．(2)由(1)知两角和一角的对边，利用正弦定理求解．解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.故a

2、＝b·＝＝1＋，c＝b·＝2×＝.归纳拓展解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.[变式训练]　1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝

3、＋，求A和tanB的值．解：由题意得cosA＝＝，因此A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.由已知条件可得：＋＝＝＝＝＝＋，从而tanB＝.专题2　三角形形状的判断[典例2]　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得cosA＝＝－，所以A＝

4、120°.(2)法一：由(1)知B＋C＝60°，B＝60°－C，由sinB＋sinC＝1，得sin(60°－C)＋sinC＝1，即sin60°cosC－cos60°sinC＋sinC＝1，即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，所以C＝30°.故B＝30°，所以△ABC为等腰钝角三角形．法二：由(1)b2＋c2＋bc＝a2得sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin2A，即(sinB＋sinC)2－sinBsinC＝，所以sinBsinC＝.与sinB＋sinC＝1联立，解得sinB＝sinC＝，而0°＜B，C＜60°，所以B＝C.所以△ABC为等腰钝角三角形．归纳拓展要

5、注意正弦的多值性，否则可能漏解．另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角函数方法求解．在解三角形时的常用结论有：(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA，a2＋b2＝c2⇔C＝，a2＋b2>c2⇔0

6、60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.因为B＝60°，所以A＋C＝120°.则A＝120°－C，代入上式，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，整理得sinC＋cosC＝1.所以sin(C＋30°)＝1，所以C＋30°＝90°，所以C＝60°.故A＝60°.所以△ABC为正三角形．法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.因为B＝60°，b＝，所以＝a2＋c2－2accos60°.整理，得(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c.所以△ABC为正三角形．专题3　求三角形的面积[典例3]　在△AB

7、C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.分析：(1)利用正弦定理将已知等式左边化成角，进而化简整理等式可求解；(2)利用余弦定理及(1)的结论先求出边c，再求面积．解：(1)由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.