【苏教版】高中数学必修5同步检测：第2章_章末知识整合_含答案.doc

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1、章末知识整合[整合·网络构建]专题1　求数列的通项公式一、观察法[典例1]　写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)－1，，－，；(2)1，2，3，4；(3)－3，7，－15，31，…；(4)2，6，2，6，….分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，每一项分子与分母的关系，前后项间的关系归纳通项．解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：an＝(－1)n·.(2)1＝1＋，2＝2＋，3＝3＋，4＝4＋，…，故an＝n＋(

2、n∈N*)．(3)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，所以an＝(－1)n·(2n＋1－1)．(4)这样的摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．an＝4＋(－1)n·2或an＝归纳拓展(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键．(2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5，0，－5，0，5，…的通项公式可为5cos(n∈N*)，也可为an＝5sin(n∈N*)．(3)已知数列

3、的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{(－1)n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．[变式训练]　1．写出下列数列的一个通项公式．(1)1，－，，－，…；(2)，，2，2，…；(3)1，3，6，10，15，…；(4)1，－4，7，－10，13，….解：(1)an＝(－1)n＋1(n∈N*)．(2)原数列可写成，，，，…，易得an＝(n∈N*)．(3)因为3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2

4、＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)．(4)因为1，4，7，10，13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得an＝(－1)n＋1(3n－2)(n∈N*)．二、利用an＝求an[典例2]　数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N＋)，求an的通项公式．分析：利用an＝将式中的Sn去掉求解．解：当n＝1时，a1＝5S1－3＝5a1－3，得：a1＝，当n≥2时，由已知an＝5Sn－3，得：an－1＝5Sn－1－3，两式作差得an－an

5、－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an，所以an＝－an－1.所以数列{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列．所以an＝a1·qn－1＝·.归纳拓展　已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见由an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为an

6、＝[变式训练]　2．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求{an}的通项公式．解：(1)当n＝1时，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.(2)n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1.所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①Sn＋1＝2Sn＋2n＋1.②②－①得an＋1＝2an＋2，即an＋1＋2＝2(an＋2)，亦即

7、＝2.a1＋2＝3，a2＋2＝6，＝2，所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列．所以an＋2＝3·2n－1，故an＝3·2n－1－2(n∈N*)．三、叠加法[典例3]　已知a1＝1，an＋1－an＝2n－n.(1)求a2，a3；(2)求证：an＝2n－－1.分析：由数列{an}的递推公式，令n＝1，2逐项求出a2，a3；由递推公式的特点，可采用叠加法求通项．(1)解：因为a1＝1，所以a2＝a1＋2－1＝2，a3＝a2＋22－2＝4.(2)证明：因为an＋1－an＝2n－n，所以a2－a

8、1＝21－1，a3－a2＝22－2，a4－a3＝23－3，…，当n≥2时，an－an－1＝2n－1－(n－1)．所以n≥2时，将以上(n－1)个式子相加，得an－a1＝(21＋22＋…＋2n－1)－[1＋2＋…＋(n－1)]，所以an＝2n－－1.而n＝1时，a1＝1也适合上式．所以数列{an}的通项公式为an＝2n－－1.归纳拓展(1)对n＝1时，检验a1＝1是否满足an＝是必要的，否则就要写成分段函数的形式．(2)如果给出数列{an}的递推公式为an＝an－1＋f(n)型，并且{f(n)}容