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时间:2020-09-01
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1、章末知识整合[整合·网络构建]专题1 求数列的通项公式一、观察法[典例1] 写出以下数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.(1)-1,,-,;(2)1,2,3,4;(3)-3,7,-15,31,…;(4)2,6,2,6,….分析:观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系,每一项分子与分母的关系,前后项间的关系归纳通项.解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为负,偶数项为正,故有:an=(-1)n·.(2)1=1+,2=2+,3=3+,4=4+,…,故an=n+(
2、n∈N*).(3)正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)n来表示符号,各项的绝对值恰是2的整数次幂减1,所以an=(-1)n·(2n+1-1).(4)这样的摆动数列,一般求两数的平均数=4,而2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n来表示.an=4+(-1)n·2或an=归纳拓展(1)观察是归纳的前提,合理的转换是完成归纳的关键.(2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一.如数列5,0,-5,0,5,…的通项公式可为5cos(n∈N*),也可为an=5sin(n∈N*).(3)已知数列
3、的前n项,写出数列的通项公式时,要熟记一些特殊数列.如{(-1)n},{n},{2n-1},{2n},{2n-1},{n2},等,观察所给数列与这些特殊数列的关系,从而写出数列的通项公式.[变式训练] 1.写出下列数列的一个通项公式.(1)1,-,,-,…;(2),,2,2,…;(3)1,3,6,10,15,…;(4)1,-4,7,-10,13,….解:(1)an=(-1)n+1(n∈N*).(2)原数列可写成,,,,…,易得an=(n∈N*).(3)因为3=1+2,6=1+2+3,10=1+2
4、+3+4,15=1+2+3+4+5,…,所以an=1+2+3+…+n=(n∈N*).(4)因为1,4,7,10,13,…组成1为首项,3为公差的等差数列,易得an=(-1)n+1(3n-2)(n∈N*).二、利用an=求an[典例2] 数列{an}的前n项和为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N+),求an的通项公式.分析:利用an=将式中的Sn去掉求解.解:当n=1时,a1=5S1-3=5a1-3,得:a1=,当n≥2时,由已知an=5Sn-3,得:an-1=5Sn-1-3,两式作差得an-an
5、-1=5(Sn-Sn-1)=5an,所以an=-an-1.所以数列{an}是首项a1=,公比q=-的等比数列.所以an=a1·qn-1=·.归纳拓展 已知数列的前n项和公式,求数列的通项公式,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2).这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错,即由an=Sn-Sn-1求得an时的n是从2开始的自然数,否则会出现当n=1时Sn-1=S0,而与前n项和定义矛盾.可见由an=Sn-Sn-1所确定的an,当n=1时的a1与S1相等时,an才是通项公式,否则要用分段函数表示为an
6、=[变式训练] 2.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求{an}的通项公式.解:(1)当n=1时,T1=2S1-1,而T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,解得a1=1.(2)n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1.所以Sn=2Sn-1+2n-1,①Sn+1=2Sn+2n+1.②②-①得an+1=2an+2,即an+1+2=2(an+2),亦即
7、=2.a1+2=3,a2+2=6,=2,所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列.所以an+2=3·2n-1,故an=3·2n-1-2(n∈N*).三、叠加法[典例3] 已知a1=1,an+1-an=2n-n.(1)求a2,a3;(2)求证:an=2n--1.分析:由数列{an}的递推公式,令n=1,2逐项求出a2,a3;由递推公式的特点,可采用叠加法求通项.(1)解:因为a1=1,所以a2=a1+2-1=2,a3=a2+22-2=4.(2)证明:因为an+1-an=2n-n,所以a2-a
8、1=21-1,a3-a2=22-2,a4-a3=23-3,…,当n≥2时,an-an-1=2n-1-(n-1).所以n≥2时,将以上(n-1)个式子相加,得an-a1=(21+22+…+2n-1)-[1+2+…+(n-1)],所以an=2n--1.而n=1时,a1=1也适合上式.所以数列{an}的通项公式为an=2n--1.归纳拓展(1)对n=1时,检验a1=1是否满足an=是必要的,否则就要写成分段函数的形式.(2)如果给出数列{an}的递推公式为an=an-1+f(n)型,并且{f(n)}容
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