专题2.13 导数的综合应用(解析版).doc

《专题2.13 导数的综合应用(解析版).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二篇函数、导数及其应用专题2.13导数的综合应用【考纲要求】1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决实际问题.【命题趋势】考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，综合性较强，常作为压轴题出现，题目难度较大【核心素养】本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。【真题体验】1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx

2、0)处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．综上，f（x）有且仅有两个零点．（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．由题设知，即，故直线AB的斜率．曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函

3、数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调

4、递增，在单调递减.又，，所以当时，.从而，在没有零点.（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.综上，有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.3.【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）

5、若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值极小值所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下： +0–0+极大值极小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用

6、数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．4.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时

7、，．【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式（组）求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）当时，，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当

8、时，，故与符号相同.又，