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1、专题6．导数的综合应用导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维,解决单调性，极值
2、，最值，切线，方程的根,参数的范围等问题，这类题难度并不大，但综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏.导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1.函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2.函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;4.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.5.导数与其他方面的知
3、识的综合1.函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;【例1】(2005年高考·全国卷II·理22)已知（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.【分析及解】（I）对函数求导数，得令，得，从而，解得，，其中当变化时，的变化情况如下表：＋0－0＋增极大值减极小值增当在处取到极大值，在处取到极小值。当时，，，在上为减函数，在上为增函数，而当时，；当时，所以当时，取得最小值。（II）当时，在上为单调函数
4、的充要条件是，即，解得。综上，在上为单调函数的充要条件。即的取值范围是。解法二.由（I）知,当时，，，在上为减函数,因此,要使在[－1，1]上是单调函数，只能使在[－1，1]上是单调减函数，即在[－1，1]上恒成立，亦即在[－1，1]上恒成立设.则又等价于在[－1，1]上恒成立,从而等价于,为此解解得.即的取值范围是。2.函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;【例1】(2005年，重庆卷，理19)已知，讨论函数的极值点的个数.【分析及解】（1）当xx1+
5、0－0+增极大值减极小值增即此时有两个极值点.（2）当有两个相同的实根,于是无极值.（3）为增函数，此时无极值.因此当无极值点.【例2】(2004年，湖北卷，文22)已知,函数的图象与函数的图象的相切.（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围.【分析及解】（Ⅰ）依题意，令（Ⅱ）xx0（+0+于是不是函数的极值点.的变化如下：xx1（+0—0+由此，的极小值点.综上所述，当且仅当3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;【例1】(2005年，湖南卷，文19)设，点P（，0）是函数)的图象的一
6、个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.【分析及解】（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得因此故，，（II）因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以即解得所以的取值范围为【例2】(2004年，浙江卷，理20)设曲线≥0）在点M（t,e--t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.【分析及解】（Ⅰ）因为所以切线的斜
7、率为故切线的方程为即.（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得所以S（t）==从而∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=4.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式【例1】（2004年，全国卷Ⅱ，理.22)已知函数（Ⅰ）求函数的最大值;（Ⅱ）设,证明【分析及解】（Ⅰ）函数的定义域为.令当当又故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.（Ⅱ）设则当上为增函数.因为即设则当因此上为减函数.因为即5.导数与其他方面的知识的综合【例1】(2004年，全国卷Ⅲ，理22)已知函数的所有正数从小到大排成数列（Ⅰ）证明数
8、列{}为等比数列；（Ⅱ）记是数列{}的前n项和，求【分析及解】（Ⅰ）由得解出为整数，从而所以数列是公比的等比数列，且首项（Ⅱ）从而因为，所以,【例2】
