专题复习：导数的综合应用(教师版)

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1、第二轮专题复习：导数的综合应用(教师版》★★★高考在考什么【考题回放】2.(06江西卷)对于R上可导的任意函数/(%),若满足(x-l)/z(x)>0,则必有(C)A./(0)+/(2)<2/(1)B./(0)+/(2)<2/(1)C./(0)+/(2)>2/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)解:依题意,当xhl时,fz(x)>0,函数f(x)在(1,+oo)上是增函数;当xvl时,fz(x)<0,f(x)在(一oo,1)上是减函数，故f(x)当x=l时取得最小值，即W/(O)>/(1),/(2

2、)>/(1),故选C3.(06全国II)过点(一1,0)作抛物线尸xJx+l的切线，则其中一条切线为(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+l=0(D)x-y+l=0解：/=2x+l,设切点坐标为(xo〃o)，则切线的斜率为2勺+1,且yo=Xo2+%o+l于是切线方程为y-(xo2+xo+l)=(2xo+l)(x-xo)，因为点(一1，0)在切线上，可解得x°=0或一4,代入可验正D正确。选D4.(06四川卷)曲线y=4x-x3在点(・1卢)处的切线方程是(A)y=7x+4(B)y

3、=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2解：曲线y=4x-x导数*4-3x2,在点(丄-3)处的切线的斜率为kJ,所以切线方程是y=x-2.选D.5.(06天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(°b),导函数厂(x)在(°b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(7b)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：函数f(x)的定义域为开区间(时)，导函数厂(x)在(7b)内的图象如图所示，函数朋)在开区间©b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1

4、个，选A.6.(浙江卷)/(x)=x3-3x2+2在区间卜1,1］上的最大值是(A)-2(B)0(C)2(D)4解：fz(x)=3x2-6x=3x(x-2),令fz(x)=0可得x=0或2(2舍去)，当一10vO吋，fz(x)>0,当0

5、形的面积是3.4(安徽卷)设函数f(x)=xhbxhcx(xeR),已知g(x)=f(x)■厂(x)是奇函数。(I)求b、c的值。(II)求g(x)的单调区间与极值。【专家解答】:(I)•：f(x)=x3-kbx2+cx,:.fz(x)=3x2+2bx+c.从而g(x)=z(x)=x3+bxhcx-(3x2+2bx+c)=x(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3；(II)由(I)知g(x)=x3-6x,从而gz(x)=3x2-6,由此可知，(-

6、OO,-血)和(血,+8)是函数g(x)是单调递增区间；(-V2,V2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在x=-y[2时，取得极大值，极大值为4血，g(x)在x=y/2时，取得极小值，极小值为-4血o★★★高考要考什么【考点透视】从近儿年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不

7、等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。【热点透析】导数综合试题，主要有以下几方面的内容：1.函数，导数,不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题，这类问题涉及到含参数的不等式，不等式的恒成立,能成立，恰成立的求解；2.函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，最值等问题，这类问题涉及到求极值和极值点,求最值，有时需要借助于方程的理论解决问题；3.利用导数的几何意义，求切线方程，解决与切线方程有关的问题；4.通过构造函数，以导数为工具,证明不等

8、式.5.导数与其他方面的知识的综合★★★高考将考什么【范例设函数/(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a>b、c>d^R)的图象关于原点对称,且时,2f(x)取极小值・一。3⑴求a>b、c、d的值；(2)当xe[-i,i]吋，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；4(3)^xi,x2^[-l,l]时，求证：If%)叭X2)

9、S§。解答⑴・・•函数f(x)图象关于原点对称，・・・对任意实数X,都有/(-x)=-/(x).A-ax