随机稳定-随机吸引和同异宿环分支.doc

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1、随机稳定，随机吸引和同异宿环分支【摘要】：本文主要研究带有可加噪声扰动的随机微分方程的稳定性问题，随机吸引子的存在性问题以及同异宿轨道分支问题．全文内容共分两部分．在第一部分，首先考虑了可失掉免疫力的随机SIRS模型和带有分布时滞的随机SIRS模型．在SIRS人口模型中，γ代表康复人群失掉免疫力的比率．对于γ=0的情况，文章[89]中已有研究．本文得到了可失掉免疫力的随机SIRS模型的随机稳定性条件．对于不含有时滞的SIRS系统，我们的条件0＜β＜λ+μ-(σ~2)/2推广了文献[89]中对γ=0的已有结果．我们采用待定Lya

2、punov泛函的方法得到理论结果．在此基础上，我们进行了三组数值模拟，模拟结果证实了理论结果的可靠性，同时我们猜测免疫能力丧失与否，不会改变疾病消失平衡点稳定的临界值．其次，研究了定义在整个(?)~n上的带有可加噪声的随机Ginzburg-Landau方程，证明了当3~(1/3)k≥

3、β

4、时，由带有可加噪声的随机Ginzburg-Landau方程定义的随机动力系统Φ在(?)~2((?)~n)上有唯一的D-随机吸引子．考虑到无界区域上Sobolev嵌入的紧性不再成立，通常的方法就不再能够保证解算子Φ是一个紧算子，从而给吸引子存在

5、性的判断带来了很大的挑战．在确定性方程中，克服这个困难我们可以采用能量方程的办法．然而对于定义在无界区域上的随机吸引子存在性的判断，一直以来没有找到有效解决的办法．本文通过尾数估计的办法首先得到解算子Φ的渐进紧性，再加上Φ存在闭的随机吸引集，从而证明了随机吸引子的存在性．论文第二部分，我们分别研究了带有倾斜翻转的3D同宿轨道分支，扭曲双同宿环分支和带有轨道翻转的异维环分支问题．在这部分，我们研究光滑系统(?)=f(z)+g(z，μ)，(1)及其未扰动系统(?)=f(z)，(2)其中z∈(?)~(m+n+2)，m≥0，n≥0，m

6、+n＞0，μ∈(?)~l，l≥2，0≤

7、

8、μ

9、

10、(?)1，g(z，0)=0．

11、

12、·

13、

14、代表(?)~l空间中由内积定义的模．我们采用了局部活动坐标架的方法．考虑到稳定叶层和不稳定叶层在同宿环小邻域内的动力学行为中扮演着强势的关键角色．因此，在一次近似的意义下，由稳定流形和不稳定流形沿同宿或异宿轨道组成的切向量丛，充分保留并展示了同宿轨道附近的动力学性质，如几何不变性，翻转性，扭曲性，扩张性和压缩性等．因此，巧妙的选取沿着同异宿轨道的切向量丛及其补空间丛中的向量丛组成活动坐标架，不仅可以将系统化为较为简单的形式，而且由此得到的Po

15、incare映射和分支方程中的关键参数具有明确的几何和动力学意义．首先研究带有倾斜翻转的非共振3D同宿环分支．即，m=0，n=1，l=2，f(0)=0．系统(2)的线性变分系统及其伴随系统分别为(?)=Df(r(t))z，(3)(?)=-(Df(r(t)))~*z．(4)令r(t)=(r~x(t)，r~y(t)，r~v(t))．取T＞0充分大，使得r(-T)=(δ，0，0)，r(T)=(0，δ，δ_v)，其中

16、δ_v

17、=o(δ)，δ充分小，满足{(x，y，v)：

18、x

19、，

20、y

21、，

22、v

23、＜2δ}(?)U．则系统(3)有一个基解矩阵

24、Z(t)满足(?)其中

25、ω_(23)

26、(?)1，ω_(21)＜0，ω_(11)≠0，ω_(32)≠0．系统(4)有一个基解矩阵Φ(t)=(Z~(-1)(t))~*，其中Φ(t)=(Φ_1(t)，Φ_2(t)，Φ_3(t))．记M_j=integralfromn=(-T)(Φ_j(t))~*g_μ(r(t)，0)dt，j=1，3．我们首先考虑不存在强倾斜翻转的同宿环分支，即ω_(33)≠0．这种情况下，分支结果是唯一的，即系统(1)或者保存原来的同宿轨道，或者分支出唯一的周期轨．其次，在强倾斜翻转的情况下，即当ω_(33)=0时

27、，我们同样得到分支结果是唯一的，即对于系统(1)来说，或者同宿轨道保存，或者分支出唯一的周期轨．最后，我们考虑带有强倾斜翻转的’弱型’同宿轨分支，即当ω_(33)=0，δ_v=0时．我们得到了1-同宿轨分支曲面，2重周期轨分支曲面及周期为2~(n-1)的周期轨道发生周期加倍的倍周期分支曲面P~(2n)以及任意的2~n-同宿分支曲面H~(2n)的存在性，(?)n∈(?)．同时，为了更好的说明我们的分支结果，我们给出了完整的分支图．其次，研究余维为2的扭曲双同宿环分支．考虑C~r系统，同时m≥0，n≥0，m+n＞0，1≥2，f(0

28、)=0．与前面带有倾斜翻转的3D同宿环分支不同的是，未扰动向量场(2)的退化性只来自双同宿环本身．在其中一条轨道发生扭曲时，我们得到了1-1双同宿轨道，2-1双同宿轨道，2-1右同宿轨道，1-1大同宿轨道，2-1大同宿轨道和2-1大周期轨道的存在和唯一性．在两条同宿轨道均发生