圆锥曲线中的定值问题.docx

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1、圆锥曲线中的定值问题定值问题的求解方法①从特殊情形入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．方法(一)　从特殊到一般求定值例1　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．[解]　(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到

2、直线AB的距离为.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，所以原点O到直线AB的距离为＝.综上，原点O到直线AB的距离为定值.例2．如图，在平面直角坐标系中，椭圆点，直线AO与椭圆E交于另一点B，C，D是椭圆E上异于A，B的任

3、意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）若直线AC，BC的斜率均存在，求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【解析】（1）易知，设，则，．(2)特殊情形：取，则直线，，则解得，所以由（1）知，当直线CA，CB，DA，DB的斜率都存在时，，设直线CA的斜率为，直线DA的斜率为，则，．直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，联立，解得，即，同理，只需交换即可得，则，即直线MN的斜率为定值．当直线BC的斜率不存在时，则易知，设AD：，则BD：，则，，即直线MN的斜率为定值．综上可知，即直线MN的斜率为定值．方法(二)　直接推理，计算例3已知椭圆C：＋＝

4、1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：

5、AN

6、·

7、BM

8、为定值．解析：　(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而

9、BM

10、＝

11、1－yM

12、＝.直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而

13、AN

14、＝

15、2－xN

16、＝.所以

17、AN

18、·

19、BM

20、＝·＝＝＝4.当x0＝

21、0时，y0＝－1，

22、BM

23、＝2，

24、AN

25、＝2，所以

26、AN

27、·

28、BM

29、＝4.综上，

30、AN

31、·

32、BM

33、为定值．例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点，求证：为定值.[证明：设交点由消去y得则有所以为定值例5已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；解（1）。，设则点在曲线上，则从而，得，则点的坐标为（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为：由得设则同理可得，则所以：AB的斜率为定值