圆锥曲线中定值问题.doc

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1、圆锥曲线中定值问题在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题.在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.1.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方

2、程变式为例1.(2012湖南理21)在直角坐标系中，曲线上的点均在圆：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.(1)求曲线的方程；(2)设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和.证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值.1.（1）解法1：设的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为`.解法2：由题设知，曲线上任意一点到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（2）当点在直线上运动时，的坐标为，又，则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每

3、条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为即.于是整理得①设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故②由得③设四点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得.所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.【变式训练1】(2012辽宁理20)如

4、图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，．点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点．(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值．【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。【变式训练1】(2012上海理22)在平面直角坐标系中，已知双曲线：．（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条

5、渐近线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值．【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．解：(1)双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.解方程组得所以所求三

6、角形的面积为S＝

7、OA

8、

9、y

10、＝.(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝2.由得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)当直线ON垂直于x轴时，

11、ON

12、＝1，

13、OM

14、＝，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，则直线OM的方程为y＝－x.由得所以

15、ON

16、2＝.同理

17、OM

18、2＝，设O到直线MN

19、的距离为d，因为(

20、OM

21、2＋

22、ON

23、2)d2＝

24、OM

25、2

26、ON

27、2.所以＝＋＝＝3，即d＝.综上，O到直线MN的距离是定值．例2．(2102福建文21)（本小题满分12分）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上．（I）求抛物线的方程；（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．2．解：依题意=，,设，则，．因为点在上，所以，解得．所以抛物线E的方程

28、为．(2)由（1）知,　．设，则，并且的方程为，即．