欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:57573608
大小:148.07 KB
页数:5页
时间:2020-08-27
《圆锥曲线中的定值问题.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、圆锥曲线中的定值问题定值问题的求解方法①从特殊情形入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.方法(一) 从特殊到一般求定值例1 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB.求证:原点O到直线AB的距离为定值,并求出该定值.[解] (1)由题意知,e==,=2,又a2=b2+c2,所以a=2,c=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±,此时,原点O到
2、直线AB的距离为.②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.则Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(1+4k2-m2)>0,x1+x2=-,x1x2=,则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=,由OA⊥OB得kOA·kOB=-1,即·=-1,所以x1x2+y1y2==0,即m2=(1+k2),所以原点O到直线AB的距离为=.综上,原点O到直线AB的距离为定值.例2.如图,在平面直角坐标系中,椭圆点,直线AO与椭圆E交于另一点B,C,D是椭圆E上异于A,B的任
3、意两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.(1)若直线AC,BC的斜率均存在,求的值;(2)求证:直线MN的斜率为定值.【解析】(1)易知,设,则,.(2)特殊情形:取,则直线,,则解得,所以由(1)知,当直线CA,CB,DA,DB的斜率都存在时,,设直线CA的斜率为,直线DA的斜率为,则,.直线AC的方程为:,直线BD的方程为:,联立,解得,即,同理,只需交换即可得,则,即直线MN的斜率为定值.当直线BC的斜率不存在时,则易知,设AD:,则BD:,则,,即直线MN的斜率为定值.综上可知,即直线MN的斜率为定值.方法(二) 直接推理,计算例3已知椭圆C:+=
4、1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:
5、AN
6、·
7、BM
8、为定值.解析: (1)由题意得解得所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则x+4y=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而
9、BM
10、=
11、1-yM
12、=.直线PB的方程为y=x+1,令y=0,得xN=-,从而
13、AN
14、=
15、2-xN
16、=.所以
17、AN
18、·
19、BM
20、=·===4.当x0=
21、0时,y0=-1,
22、BM
23、=2,
24、AN
25、=2,所以
26、AN
27、·
28、BM
29、=4.综上,
30、AN
31、·
32、BM
33、为定值.例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点,求证:为定值.[证明:设交点由消去y得则有所以为定值例5已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值;解(1)。,设则点在曲线上,则从而,得,则点的坐标为(2)由(1)知轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为,则PB的直线方程为:由得设则同理可得,则所以:AB的斜率为定值
此文档下载收益归作者所有