2020大二轮高考总复习文数文档：自检17 导数及其运用 Word版含解析.pdf

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1、自检17：导数及其运用A组高考真题集中训练导数的运算及几何意义1．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解析：对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l的斜率k＝1，11当x＝π时，该点处切线l的斜率k＝－1，∴k·k＝－1，∴l⊥l；对函数y＝lnx求导，得2212121y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex

2、求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之x积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A．答案：A12．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________________．x1解析：∵y′＝2x－，∴y′

3、＝1，x2x＝1即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝____

4、____.解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：14．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.1解析：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋，y′

5、＝2.xx＝1∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax

6、2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．y＝2x－1，由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.y＝ax2＋a＋2x＋1，由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案：85．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．1解析：∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.x又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x

7、＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.答案：16．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.答案：3导数的应用1．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)1解析：因为f(x)＝kx－

8、lnx，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所x11以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以xx10<<1，所以k≥1.故选D．x答案：D2．(2017·鹰潭一模)已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－2ax)有两个极值点x，x(x＜121x)()21A．f(x)＜0，f(x)＞－1221B．f(x)＜0，f(x)＜1221C．f(x)＞0，f(x)＜－1221D．f(x)＞0，f(x)＞122解析：f′(x)＝lnx＋1－4ax，

9、(x＞0)，令f′(x)＝0，由题意可得lnx＝4ax－1有两个解x，x⇔函数g(x)＝lnx＋1－4ax有且只有两个零点12⇔g′(x)在(0，＋∞)上的唯一的极值不等于0.11－4axg′(x)＝－4a＝.xx①当a≤0时，g′(x)＞0，f′(x)单调递增，因此g(x)＝f′(x)至多有一个零点，不符合题意，应舍去．1②当a＞0时，令g′(x)＝0，解得x＝.4a1∵x∈0，4a，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；1x∈4a，＋∞时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．11∴x＝4

10、a是函数g(x)的极大值点，则g4a＞0，1即ln＋1－1＝－ln(4a)＞0，4a1∴ln(4a)＜0，∴0＜4a＜1，即0＜a＜.411故当0＜a＜时，g(x)＝0有两个根x，x，且x＜＜x，又g(1)＝1－4a＞0，41214a21∴x＜1＜＜x，从而可知函数f(x)在区间(0，x)上递减，在区间(x，x)上递增，在区14a2112间(x，＋∞)上递减．21∴f