2019高考数学考点突破——数列：等差数列及其前n项和 Word版含解析.pdf

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1、等差数列及其前n项和【考点梳理】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a－a＝d(n∈N*，d为常数)．n＋1na＋b(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差2中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a＝a＋(n－1)d，a＝a＋(n－m)d.n1nmnn－dna＋a(2)前n项和公式：S＝na＋＝1n.n1223．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a＝a＋(

2、n－m)d(n，m∈N*)．nm(2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a＋a＝a＋a.nklmn(3)若{a}是等差数列，公差为d，则{a}也是等差数列，公差为2d.n2n(4)若{a}，{b}是等差数列，则{pa＋qb}也是等差数列．nnnn(5)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a，a，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数nkk＋mk＋2m列．【考点突破】考点一、等差数列的基本运算【例1】(1)已知{a}是公差为1的等差数列，S为{a}的前n项和，若S＝4S，则a＝(

3、)nnn84101719A．B．22C．10D．12(2)记S为等差数列{a}的前n项和.若a＋a＝24，S＝48，则{a}的公差为()nn456nA．1B．2C．4D．8[答案](1)B(2)C[解析](1)∵公差为1，8×8－1∴S＝8a＋×1＝8a＋28，S＝4a＋6.8121411∵S＝4S，∴8a＋28＝4(4a＋6)，解得a＝，841112119∴a＝a＋9d＝＋9＝.10122(2)设{a}的公差为d，首项为a，n1a＋a＝24，2a＋7d＝24，①451由得S＝48，6a

4、＋15d＝48，②61解得d＝4.【类题通法】1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a，a，d，n，S，知三求二，体1nn现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a和d是等差数列的1两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．【对点训练】1．在数列{a}中，若a＝－2，且对任意的n∈N*有2a＝1＋2a，则数列{a}前10项的n1n＋1nn和为()A．2B．1055C．D．24[答案]C1[解析]由2a＝1＋2a得a－a＝，n＋1nn＋1n2

5、1所以数列{a}是首项为－2，公差为的等差数列，n210×（10－1）15所以S＝10×(－2)＋×＝.102222．设等差数列{a}的前n项和为S，S＝6，S＝12，则S＝________.nn346[答案]30[解析]法一设数列{a}的首项为a，公差为d，n1S＝3a＋3d＝6，a＝0，311由S＝6，S＝12，可得解得34S＝4a＋6d＝12，d＝2，41即S＝6a＋15d＝30.61法二由{a}为等差数列，故可设前n项和S＝An2＋Bn，nnS＝9A＋3B＝6，3由S＝6，S

6、＝12可得34S＝16A＋4B＝12，4A＝1，解得即S＝n2－n，则S＝36－6＝30.n6B＝－1，考点二、等差数列的判定与证明1【例2】若数列{a}的前n项和为S，且满足a＋2SS＝0(n≥2)，a＝.nnnnn－1121(1)求证：成等差数列；Sn(2)求数列{a}的通项公式.n[解析](1)当n≥2时，由a＋2SS＝0，nnn－111得S－S＝－2SS，所以－＝2，nn－1nn－1SSnn－111又＝＝2，Sa111故是首项为2，公差为2的等差数列.Sn11

7、(2)由(1)可得＝2n，∴S＝.Sn2nn当n≥2时，11n－1－n1a＝S－S＝－＝＝－.nnn－12n2（n－1）2n（n－1）2n（n－1）1当n＝1时，a＝不适合上式.121，n＝1，2故a＝n1－，n≥2.2n（n－1）【类题通法】等差数列的证明方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a－a为同一常数.nn－1(2)等差中项法：验证2a＝a＋a(n≥3，n∈N*)都成立.n－1nn－2【对点训练】311已知数列{a}中，a＝，a＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{b}满足b＝(n

8、∈N*)．n15nanna－1n－1n(1)求证：数列{b}是等差数列．n(2)求数列{a}中的通项公式a.nn1[解析](1)因为a＝2－(n≥2，n∈N*)，nan－11b＝.na－1n11所以n≥2时，b－b＝－nn－1a－1a－1nn－111a1＝－＝n－1－＝1.1a－1a－1a－12－－1n－1n－1n－1an－115又b＝＝－，1a－1215所以数列{b}是以－为首项，1为公差的等差数列