2019年高考数学（文）考点一遍过 考点21 等差数列及其前n项和（含解析）

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1、2019年高考数学（文）考点一遍过（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数的关系.一、等差数列1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．3．等差数列的通项公式及其变形以为首项，d为公差的等差数列的通

2、项公式为．公式的变形：，．4．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式，可得．令，，则，其中，为常数．（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．二、等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．令，，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直

3、线上一系列孤立的点．我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．2．用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．三、等差数列的性质1．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：（1）通项公式的推广：，．（2）若，则．特别地，①若，则；②若，则．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即（3）下标成等差数列

4、的项组成以md为公差的等差数列．（4）数列是常数是公差为td的等差数列．（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．（6）若，则．2．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为．（2）构成公差为的等差数列．（3）若数列共有项，则，．（4）若数列共有项，则，．（5），．考向一等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法：定义法：或是等差数列；定义变形法：验证是否满足；等差中项法：为等差数列；通

5、项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；前n项和公式法：为常数为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．典例1已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列为等差数列”能推出“数列为等差数列”，“数列为等差数列”不能推出“数列为等差数列”，从而可得结果.1．已知数列满足，且.（1）证明：数列是等差数列；（

6、2）设，求数列的前项和.考向二等差数列中基本量的求解1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．典例2已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.【答案】6【解析】∵是等差数列，∴，，∴，解得，∴，故填6．典例3在等差数列中，a1＝1，S5＝－15.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前k项和Sk＝－48，求k的值．（2）由（1）可知an＝3－2n，所以.令，即

7、k2－2k－48＝0，解得k＝8或k＝－6.又，故k＝8.2．已知等差数列的前项和为，若，则A．B．C．D．考向三求解等差数列的通项及前n项和1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.2．递推关系式构造等差数列的常见类型

8、：（1）转化为常数，则是等差数列；（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；（3）转化为常数，则是等差数列；（4）转化为常数，则是等差数列；（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．3．等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同