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《等差数列及其前n项和(含解析)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二节等差数列及其前//项和知识要点:一、等差数列的有关概念1.定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的羞都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为旬土匸卫旦(圧N；d为常数).2.等差中项：数列a,A,b成等差数列的充要条件是人=学，其中A叫做a,b的等疫中项.己知三个或四个数组成等差数列的一类冋题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d,a-d9a,a+d,a+2〃，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a—3d,a—d,d+d+3
2、d,…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.题型一：差数列的判断与证明[例1]在数列｛©｝中,a,=-3,°“=2隔一1+2”+3(心2,且圧N).⑴求°2，如的值;⑵设b严峙Nwn),证明:｛bn｝是等差数列.[自主解答](1)・・Z]=_3,a厂2%]+2"+3(心2,且nGN*),=2aj+22+3=1,心=2。2+2‘+3=13.(2)证明：对于任意nCN*,+3)-3]=1,a[+3—3+3•••数列｛如是首项为七—公差为1的等差数列.由题悟法1.证明｛為｝为等差数列的方法：⑴用
3、定义证呱a,~an-x=d(d为常数，畀N2)令仙｝为等差数列；(2)用等差中项证明：2a卄]=如+°“+2台｛禺｝为等差数列;(3)通项法：禺为h的一次函数0｛為｝为等差数列；(4)前h项和法：S„=An2+Bn或严).2.用定义证明等差数列时，常采用的两个式了给+】一心=d和a-an-x=d,但它们的意义不同，后者必须加上J22”，否则n=Ibf,血无定义.以题试法1.已知数列｛砌｝的前〃项和那是n的二次函数，且如=一2,他=2,S3=6.⑴求弘(2)证明:数列｛“｝是等差数列.解:⑴设S
4、“=A/+B”+C(AHO),_2=A+B+C,则]0=4A+2B+C,解得4=2,B=-4,C=0.故S八2/-4n..6=9A+33+C,(2)证明:•.•当/?=1时，a】=S]=-2.当心2时，arl=S“一S“-]=2n一4/7-[2(/?-1)2-4(n一1)]=4兀一6.题型二：等差数列的基本运算［例2］（2012•重庆高考）已知｛禺｝为等差数列，月4+如=8,02+^4=12.（1）求｛偽｝的通项公式;⑵记他｝的前/1项和为S”，若⑷，以，S&+2成等比数列，求正整数k的值.［自
5、主解答］⑴设数列S”｝的公差为d,由题意知2心+2d=8,2a1+4d=12,a=2,解得鳥所以an=a+（fi-l）d=2+2（n一1）=2n.（2）由（1）可倚Sn=2=—2=n^n1>因为G］,gS「2成等比数列，所以圧=a、Sk・2・从而（2好=2伙+2）伙+3）,即疋一5鸟一6=0,解得R=6或R=_］（舍去）,因此R=6.由题悟法1.等差数列的通项公式禺=%+"—1）d及前n项和公式s”J⑷严）=呦+咛％,共涉及五个量⑷，给，d,n,S”，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思
6、想.2.数列的通项公式和前77项和公式在解题中起到变量代换作用，而⑷和d是等差数列的两个棊木量，用它们表示已知和未知是常用方法.以题试法1.（1）在等差数列中，已知06=10,S5=5,则S8=.（2）（2012•江西耳关考）设等差数列｛给｝的前n项和为S“，若卷一寻=1，则公差为•解析：(l)Va6=10,55=5,如+5d=10,5©+106/=5.a=_5,解方程组得丿df则58=8«!+28J=8X(-5)+28X3=44.⑵依题意得S4=4«!4X3+-2~“=4di+6d,123d
7、
8、=1,由此解得d=6,即公差为6.答案：(1)44(2)6题型三：等差数列的性质［例3］⑴等差数列仏｝中,若⑷+°4+。7=39,心+。6+。9=27,则前9项和Sg等于（）A.66B.99C.144D.297（2）（2012•天津棋拟）设等差数列｛给｝的前n项和必，若S4=8,Sg=20,则如+加+如+如4=()A.18B.17C.16D.15[自主解答](1)由等差数列的性质及山+血+如=39,可得3^4=39,所以他=13•同理，b“十F。加宀十9(山+的)9(如+06)“由如+^6+的
9、=27,可侍^6=9.所以Sg=2=2=99・(2)设｛偽｝的公差为d,则偽+心+如+佻=S&-S4=12,(a5+心+。7+°8)-54=16d,解得d=£山
10、+Qi2+ai3+ai4=S4+40d=1&[答案]⑴B(2)A由题悟法1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练学握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号Z间的关系.以题试法3.（1）（2012•江西高考）设数列｛给
