等差数列及其前n项和(含解析).doc

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1、第二节等差数列及其前n项和[知识能否忆起]一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．二、等差数列的有关公式1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d.2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.三、等差数列的性质1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，

2、…仍为等差数列，公差为kd.3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B＝a1－，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．[小题能否全取]1．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公

3、差为(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选B　法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得故d＝2.法二：∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin＝(　　)A.B.C．－D．－解析：选D　∵a2＋a6＝，∴2a4＝.∴sin＝sin＝－cos＝－.3．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)A．58B．88C．143D．176解析：选B　S11＝＝＝88.4．在

4、数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析：由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列其公差为2.故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.5．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝________，Sn＝________.解析：设{an}的公差为d，由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋(n2－n)×＝n2＋n.总结.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：

5、已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)Sn＝n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A.(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的判断与证明典题导入[例1]　在数列{an}中，

6、a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．[自主解答]　(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n∈N*，∵bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1，∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；(

7、2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．以题试法1．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求Sn；(2)证明：数列{an}是等差数列．解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n.(2)证

8、明：∵当n＝1时，a1＝