等差数列及其前n项和

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1、为您服务教育网　http://www.wsbedu.com/等差数列及其前n项和基础自测1.（2008·广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6等于()A.16B.24C.36D.48答案D2.设{an}是等差数列，a1>0,a2007+a2008>0,a2007·a2008<0,则使Sn>0成立的最大自然数n是（）A.4013B.4014C.4015D.4016答案B3.（2008·全国Ⅰ理，5）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10等于（）A.138B.13

2、5C.95D.23答案C4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且,则使得为整数的正整数n的个数是（）A.2B.3C.4D.5答案D5.数列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差数列，则2b+y-2a+x的值为（）A.正实数B.负实数C.零D.不确定答案C例1已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.求证：数列{bn}是等差数列.证明∵an+1-2=2-=∴===+∴-=，∴bn+1-bn=.∴数列{bn}是等差数列.8为您服务教育网　http://www.wsbedu.c

3、om/例2在等差数列{an}中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,求a1.解（1）方法一设首项为a1,公差为d,依条件得,解方程组得∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二由d=,得d===4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.（2）∵a6=10,S5=5,∴.解方程组得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d

4、,依题意有：,∴,∴.∵d＞0,∴d=2,a-d=2.∴首项为2.∴a1=2.例3（12分）在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解方法一∵a1=20，S10=S15，∴10×20+d=15×20+d，∴d=-.4分∴an=20+（n-1）×(-)=-n+.8分∴a13=0.即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0.10分∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=12×20+(-)=130.12分方法二同方法一求得d=-.4分∴Sn=20n+·(-

5、)8为您服务教育网　http://www.wsbedu.com/=-n2+n=-+.8分∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.12分方法三同方法一得d=-.4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.8分∴5a13=0,即a13=0.10分∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.12分1.设两个数列{an},{bn}满足bn=，若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.证明由题意有a1+2a2+3a3+…+nan=bn，①从而有a1+2a2+3a3+…

6、+(n-1)an-1=bn-1(n≥2),②由①-②，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d为{bn}的公差(n≥2).从而an+1-an=-==(n≥2).又a1=b1，a2=∴a2-a1=-b1==.综上，an+1-an=d（n∈N*）.所以{an}是等差数列.2.（2009·成都市第一次调研）设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.解设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,8为您服务教育网　http://www.wsbedu.com/∵S7=7,S15=

7、75,∴,即,解得,∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),∵-=,∴数列是等差数列,其首项为-2,公差为,∴Tn=n2-n.3.等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？解由条件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a1＜0知d＞0,即数列{an}为递增数列.方法一由，得,解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小.方法二∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0.又∵a1＜0,∴公差d＞0，从而前10项或前11项和最小.方法三∵S9=

8、S12，∴Sn的图象所在抛物线的对称轴为x==10.