2019高考数学 考点突破——数列：等比数列及其前n项和学案

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1、等比数列及其前n项和【考点梳理】1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn

2、－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.【考点突破】考点一、等比数列的基本运算【例1】(1)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.(2)在数列{an}中，a1＝2

3、，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.[答案](1)－8(2)6[解析](1)由{an}为等比数列，设公比为q.由得显然q≠1，a1≠0，得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.(2)由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.【类题通法】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(

4、组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.【对点训练】1．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)A．1B．－C．1或－D．－1或[答案]C[解析]根据已知条件得②÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.2．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．[答案]2n－1[解析]设等比数列的公比为q，

5、则有解得或又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.考点二、等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[解析]　(1)∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn.由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，从而cn≠0，∴

6、＝.∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列.(2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n，又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n，∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n.又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝n.【类题通法】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【对点训练】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.[解析](

7、1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n.由S5＝得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1.考点三、等比数列的性质及应用【例3】(1)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)A．12B．10C．8D．2＋

8、log35(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)A．40B．60C．32D．50[答案](1)B　(2)B[解析](1)由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝