等比数列及其前n项和 学案.doc

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1、高二文科数学基础辅导材料三等比数列及其前n项和学习目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点1　等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比

2、数列，那么________叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔________.答案：(1)2　同一个常数　公比　(2)G　G2＝ab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝________.(2)前n项和公式：Sn＝答案：(1)a1qn－1　(2)na1[典题1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[点石成金]　等比数列的四

3、种常用判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．[提醒]　(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法

4、，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.练习一：设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．考点2　等比数列的基本运算1.练习二：(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝___

5、_____.2.易错问题：等比数列的两个非零量：项；公比．(1)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于________．(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝__________.3.常考题型：[考情聚焦]　等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求首项a1，公比q或项数n[典题2]　[2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此

6、数列的公比为(　　)A．2B．3C．4D．5角度二求通项或特定项[典题3]　[2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列，则an＝________.角度三求前n项和[典题4]　(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为(　　)A.　　B．31C.　　D．以上都不正确(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________.[点石成金]　解决与等比数列有关问题的常用思想方法

7、(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.考点3　等比数列的性质1.等比数列的常用性质：(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝________.(3)若数列{an

8、}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.答案：(1)qn－m　(2)ap·aq　a2.易错问题：等比数列的基本公式：通项公式