2019高考数学考点突破——数列：数列求和 Word版含解析.pdf

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1、数列求和【考点梳理】1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：na＋ann－S＝1n＝na＋d；n212(2)等比数列的前n项和公式：na，q＝1，1S＝a－aqa－qnn1n＝1，q≠1.1－q1－q2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：111①＝－；nn＋nn＋11111②＝－；n－n＋22n－12n＋11③＝n＋1－n.n＋n＋14．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差

2、数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，n那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a＝(－1)nf(n)类型，n可采用两项合并求解．例如，S＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.n【考点突破】考点一、公式法求和【例1】已知等差数列{a}和等比数列{b}满足a＝b＝1，a＋a＝10，b

3、b＝a.nn1124245(1)求{a}的通项公式；n(2)求和：b＋b＋b＋…＋b.1352n－1[解析](1)设{a}的公差为d，由a＝1，a＋a＝10得1＋d＋1＋3d＝10，n124所以d＝2，所以a＝a＋(n－1)d＝2n－1.n1(2)由(1)知a＝9.5设{b}的公比为q，由b＝1，b·b＝a得qq3＝9，所以q2＝3，n1245所以{b}是以b＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，2n－111·（1－3n）3n－1所以b＋b＋b＋…＋b＝＝.1352n－11－32【类题通法】1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形

4、，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.【对点训练】已知等差数列{a}的前n项和为S，等比数列{b}的前n项和为T，a＝－1，b＝1，a＋nnnn112b＝2.2(1)若a＋b＝5，求{b}的通项公式；33n(2)若T＝21，求S.33[解析](1)设{a}公差为d，{b}公比为q，nn－1＋d＋q＝2，d＝1，d＝3，由题意得解得或(舍去)，－1＋2d＋q2＝5，q＝2q＝0故{b}的通项公式为b＝2n－1.nn－1＋d＋q＝2，q＝4，q＝－5，(2)由已知得解得或1＋q＋q2＝21，d＝－1

5、d＝8.∴当q＝4，d＝－1时，S＝－6；3当q＝－5，d＝8时，S＝21.3考点二、分组转化求和n2＋n【例2】已知数列{a}的前n项和S＝，n∈N*.nn2(1)求数列{a}的通项公式；n(2)设b＝2a＋(－1)na，求数列{b}的前2n项和.nnnn[解析](1)当n＝1时，a＝S＝1；11n2＋n（n－1）2＋（n－1）当n≥2时，a＝S－S＝－＝n.nnn－122a也满足a＝n，故数列{a}的通项公式为a＝n.1nnn(2)由(1)知a＝n，故b＝2n＋(－1)nn.nn记数列{b}的前2n项和为T，n2n则T＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1

6、＋2－3＋4－…＋2n).2n记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，2（1－22n）则A＝＝22n＋1－2，1－2B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{b}的前2n项和T＝A＋B＝22n＋1＋n－2.n2n【类题通法】1.若数列{c}的通项公式为c＝a±b，且{a}，{b}为等差或等比数列，可采用分组求和nnnnnn法求数列{c}的前n项和.na，n为奇数，n2.若数列{c}的通项公式为c＝其中数列{a}，{b}是等比数列或等差数列，nn，n为偶数，nnbn可采用分组求和法求{a}的前n项和.

7、n【对点训练】已知{a}是等差数列，{b}是等比数列，且b＝3，b＝9，a＝b，a＝b.nn2311144(1)求{a}的通项公式；n(2)设c＝a＋b，求数列{c}的前n项和．nnnnb9[解析](1)设等比数列{b}的公比为q，则q＝3＝＝3，nb32b所以b＝2＝1，b＝bq＝27，所以b＝3n－1(n＝1,2,3，…).1q43n设等差数列{a}的公差为d.n因为a＝b＝1，a＝b＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.11144所以a＝2n－1(n＝1,2,3，…).n(2)由(1)知a＝2n－1，b＝3n－1.nn因此c＝a＋b＝2n－1＋3n－1.

8、nnn从而数列{c}的前