2019版数学人教B版选修4-5训练：第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 检测 Word版含解析.pdf

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1、第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.设a,b∈R,且a2+2b2=6,则a+b的最小值是()A.-C.-3D.答案:C2.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为()A.C.12D.6解析:∵a⊥b,∴4(x-1)+2y=0.∴2x+y=2,∴y=2-2x,∴9x+3y=9x+32-2x=32x+32-2x≥-当且仅当32x=32-2x,即x时等号成立.答案:D3.若5x+6x-7x+4x=1,则的最小值是1234AC.3D答案:B则等于4.若α,β为锐角,且AC答案:A5.y=x-

2、的最大值是A.1B.2C解析:令x=cosθ,θ∈[0,π],则y=cosθ+sinθ答案:C6.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()AC.1解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z)2=100,则x2+y2+z2≥当且仅当时,取到最小值,所以联立可得x答案:B7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()AC解析:由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2≥(1×x+3×y+5×z)2当且仅当x时等号成立.答案:C则8.已知x,y,

3、z∈(0,+∞),且的最小值是A.5B.6C.8D.9解析:x≥=9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.答案:D9.设m,n为正整数,m>1,n>1,且logm·logn≥4,则m+n的最小值为()33A.15B.16C.17D.18解析:∵4≤logm·logn33≤∴(logmn)2≥16,∴mn≥34.3∴m+n≥≥2×32=18,当且仅当m=n时等号成立.答案:D10.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m与n,3m+2n的最大值是()A.35B.37C.38D.41答案:B二、填空题(每小题5分,共25分)11.

4、y=log(x3+2x2+x)的定义域是.sinx解析:∴2kπ

5、+t2的最小值为4.答案:415.已知x,y,z∈R,有下列不等式:①x2+y2+z2+3≥2(x+y+z);③

6、x+y

7、≤

8、x-2

9、+

10、y+2

11、;④x2+y2+z2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是.答案:①③④三、解答题(本大题共3个小题,共25分)16.(8分)已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的取值范围.解:由基本不等式及柯西不等式,得≤当且仅当x=y=z时等号成立.故参数λ的取值范围是17.(8分)P是△ABC内一点,x,y,z分别是点P到△ABC的三边a,b,c的距离,R是△ABC外接圆的半径,证明证明由

12、柯西不等式,得≤设S为△ABC的面积,则ax+by+cz=2S于是≤故原不等式成立.18.(9分)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是长、宽分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)解:由题意,得xy-故y框架用料长度l=2x+2y+≥即x时等号成立,此时x≈2.343,y=≈2.828.当且仅当故当x约为2.343m,y约为2.828m时,框架用料最省.