高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式学案 新人教B版选修.doc

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1、2．1柯西不等式[读教材·填要点]1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式(1)定理1(柯西不等式的代数形式)设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2.上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.(2)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、上式中等号成立⇔向量α和β共线(平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.(3)定理3：设a1，a2，b1，b2为实数，则＋≥等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使得μa1＝λb1，μa2＝λb2.(4)定理4(平面三角不等式)设a1，a2，b

8、1，b2，c1，c2为实数，则＋≥.等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得：μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)．(5)定理5：设α，β，γ为平面向量，则

9、α－β

10、＋

11、β－γ

12、≥

13、α－γ

14、当α－β，β－γ为非零向量时，上面不等式中等号成立⇔存在正常数λ，使得α－β＝λ(β－γ)⇔向量α－β与β－γ同向，即夹角为零．2．柯西不等式的一般形式定理　设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥

15、a1b1＋a2b2＋…＋anbn

16、，其中等号成立⇔＝＝…＝(当某bj＝0时，认为a

17、j＝0，j＝1,2，…，n)[小问题·大思维]1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？提示：不可以．当a2·b2＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．利用平面上的柯西不等式证明有关不等式[例1]　已知a，b，c为正数，且满足acos

18、2θ＋bsin2θ

19、证明：根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]≥2＝(a＋b)2＝4.∴＋≥＝2.∴原不等式成立.利用一般形式的柯西不等式证明不等式[例2]　设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋>.[思路点拨]　本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．[精解详析]　构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c

20、不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi均为正实数(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．2．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵(a＋b＋c)＝·[()2＋()2＋()2]≥2＝(a＋b＋c)2，即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，又a，b，c为正实数，∴a＋b＋c>0.∴＋＋≥a＋b＋c.利用柯西不等式求最值[例3]　设2x＋

21、3y＋5z＝29，求函数u＝＋＋的最大值．[思路点拨]　本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．[精解详析]　根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1×＋1×＋1×)2，故＋＋≤2.当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝，y＝，z＝时等号成立，此时umax＝2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．3．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.解析：根据柯西

22、不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等号，必须满足＝＝，结合x＋2y＋3z＝，可得x＋y＋z＝