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时间:2019-01-12
《高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2_1 柯西不等式学案 新人教b版选修4-5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1柯西不等式[读教材·填要点]1.平面上的柯西不等式的代数和向量形式(1)定理1(柯西不等式的代数形式)设a1,a2,b1,b2均为实数,则(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2.上式等号成立⇔a1b2=a2b1.(2)定理2(柯西不等式的向量形式)设α,β为平面上的两个向量,则
2、α
3、
4、β
5、≥
6、α·β
7、上式中等号成立⇔向量α和β共线(平行)⇔存在实数λ≠0,使得α=λβ.(3)定理3:设a1,a2,b1,b2为实数,则+≥等号成立⇔存在非负实数μ及λ,使得μa1=λb1,μa2=λb2.(4)定理4(平面三角不等式)设a1,a
8、2,b1,b2,c1,c2为实数,则+≥.等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得:μ(a1-b1)=λ(b1-c1),μ(a2-b2)=λ(b2-c2).(5)定理5:设α,β,γ为平面向量,则
9、α-β
10、+
11、β-γ
12、≥
13、α-γ
14、当α-β,β-γ为非零向量时,上面不等式中等号成立⇔存在正常数λ,使得α-β=λ(β-γ)⇔向量α-β与β-γ同向,即夹角为零.2.柯西不等式的一般形式定理 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn为实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,
15、也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。b)≥
16、a1b1+a2b2+…+anbn
17、,其中等号成立⇔==…=(当某bj=0时,认为aj=0,j=1,2,…,n)[小问题·大思维]1.在平面上的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以写成=吗?提示:不可以.当a2·b2=0时,柯西不等式成立,但=不成立.2.在一般形式的柯西不等式的右端中,表达式写成ai·bi(i=1,2,3,…,n),可以吗?提示:不可以,ai·bi的顺序要与左侧ai,bi的顺序一致.3.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai
18、=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?提示:不可以.若bi=0而ai≠0,则k不存在.利用平面上的柯西不等式证明有关不等式[例1] 已知a,b,c为正数,且满足acos2θ+bsin2θ19、爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当的变形.这种变形往往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口.1.设a,b均为正实数,且a+b=2.求证:+≥2.证明:根据柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]=[()2+()2]≥2=(a+b)2=4.∴+≥=2.∴原不等式成立.利用一般形式的柯西不等式证明不等式[例2] 设a,b,c为正数,且不全相等.求证:++20、>.[思路点拨] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据,,;,,,然后利用柯西不等式解决.[精解详析] 构造两组数,,;,,,则由柯西不等式得(a+b+b+c+c+a)≥(1+1+1)2,①即2(a+b+c)≥9,于是++≥.非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。由柯西不等式知,①中有等号成立⇔==⇔a+b=b+c=c+a⇔a=b=c.因题设,a,b,c不全相等,故①中等号不成立,于是++>.柯西不21、等式的结构特征可以记为(a1+a2+…+an)·(b1+b2+…+bn)≥(++…+)2,其中ai,bi均为正实数(i=1,2,…,n),在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征),准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.2.设a,b,c为正数,求证:++≥a+b+c.证明:∵(a+b+c)=·[()2+()2+()2]≥2=(a+b+c)2,即(a+b+c)≥(a+b+c)2,又a,b,c为正实数,∴a+b+c>0.∴++≥a+b+c.利用柯西不等式求最值[例3] 设2x+3y+5z=29,求函数u=++的最大值22、.[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用,解答本题需要利用好特定条件,设法去掉根号.[精解详析] 根据柯西不等式120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]非常感谢上级领导对我的
19、爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当的变形.这种变形往往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口.1.设a,b均为正实数,且a+b=2.求证:+≥2.证明:根据柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]=[()2+()2]≥2=(a+b)2=4.∴+≥=2.∴原不等式成立.利用一般形式的柯西不等式证明不等式[例2] 设a,b,c为正数,且不全相等.求证:++
20、>.[思路点拨] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据,,;,,,然后利用柯西不等式解决.[精解详析] 构造两组数,,;,,,则由柯西不等式得(a+b+b+c+c+a)≥(1+1+1)2,①即2(a+b+c)≥9,于是++≥.非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。由柯西不等式知,①中有等号成立⇔==⇔a+b=b+c=c+a⇔a=b=c.因题设,a,b,c不全相等,故①中等号不成立,于是++>.柯西不
21、等式的结构特征可以记为(a1+a2+…+an)·(b1+b2+…+bn)≥(++…+)2,其中ai,bi均为正实数(i=1,2,…,n),在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征),准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.2.设a,b,c为正数,求证:++≥a+b+c.证明:∵(a+b+c)=·[()2+()2+()2]≥2=(a+b+c)2,即(a+b+c)≥(a+b+c)2,又a,b,c为正实数,∴a+b+c>0.∴++≥a+b+c.利用柯西不等式求最值[例3] 设2x+3y+5z=29,求函数u=++的最大值
22、.[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用,解答本题需要利用好特定条件,设法去掉根号.[精解详析] 根据柯西不等式120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]非常感谢上级领导对我的
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