高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2_1 柯西不等式学业分层测评 新人教b版选修4-5

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　)A.1　　　　B.2C.D.4【解析】　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤.【答案】　C2.若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为(　　)A.3B.1C.D.【解析】　∵a＋

2、b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥3.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，∴的最小值为.【答案】　D3.已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)【导学号：38000033】A.B.C.D.【解析】　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝，当且仅当x·＝y·，即x＝，y＝时等号成立，配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用

3、学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求∴2x2＋3y2的最小值为.【答案】　B4.若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为(　　)A.1B.－1C.2D.－2【解析】　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)，≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，故a1b

4、1＋a2b2＋…＋anbn≤2.因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2.【答案】　C5.已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为(　　)A.(0,1)B.(－1,1)C.(0，－1)D.[－1,1]【解析】　设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z).∵

5、α

6、＝＝1，

7、β

8、＝＝1，由

9、α

10、

11、β

12、≥

13、α·β

14、，得

15、t

16、≤1.∴t的取值范围是[－1,1].【答案】　D二、填空题6.(湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________.【解析】　∵a＋2b＋3c＝6，∴1

17、×a＋1×2b＋1×3c＝6，∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号.【答案】　127.若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________.【解析】　由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，∴5×16≥(x－2z)2，∴－4≤x－2z≤4，配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养

18、苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求即－4≤a·b≤4.故a·b的最大值为4.【答案】　48.已知a＋b＝1，则a2＋b2＝________.【解析】　由柯西不等式得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当＝时，上式取等号，∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1

19、－b2)，于是a2＋b2＝1.【答案】　1三、解答题9.已知θ为锐角，a，b均为正数.求证：(a＋b)2≤＋.【证明】　设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则

20、a＋b

21、＝＝

22、m·n

23、≤

24、m

25、

26、n

27、＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.10.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.【解】　如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×).由柯西不等式得l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开