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《2019版数学人教B版选修4-5训练：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明课时过关·能力提升1.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D解析:设n个正数为x,x,…,x,12n由柯西不等式,得(x+x+…+x12n≥=(1+1+…+1)2=n2,当且仅当x=x=…=x时等号成立.12n答案:C2.若x+y+z=1,则F=2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D解析:∵(2x2+y2+3z2≥=(x+y+z)2=1,当且仅当x时等号成立.∴2x2+y2+3z2≥答案:D3.设m,n,p∈(0,+∞),且m2+n
2、2-p2=0,则的最小值为A.0B.3C.1D解析:∵m,n,p∈(0,+∞),m2+n2-p2=0,∴2p2=2(m2+n2)=(12+12)(m2+n2)≥(m+n)2,当且仅当m=n时等号成立.答案:D4.已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为.解析:∵(x2+4y2+z2)(12+12+12)≥(x+2y+z)2=1,∴x2+4y2+z2≥当且仅当x=2y=z即x时等号成立.答案:5.已知(x-3)2+(y-3)2=6,则的最大值为解析:设k≠0),则kx-y=0,于是[(x-3)2+(y-3)
3、2][k2+(-1)2]≥[k(x-3)-(y-3)]2=(3-3k)2.--时等号成立,当且仅当-因此6(k2+1)≥(3-3k)2,解得3-≤k≤3+故k=3+即的最大值为3+max答案:3+6.求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.解:由柯西不等式,得(12+22+12)×[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2]≥[1×(y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)]2=1,即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥----当且仅当即x时等号成立.故当
4、x时,(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.★7.设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求证证明·≥≥当且仅当a=b时等号成立.故原不等式成立.★8.如图所示,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在这个三角形内任取一点P,过点P分别引三边的平行线,与各边围成以点P为顶点的三个三角形.求这三个三角形面积和的最小值,以及取得最小值时点P的位置.解:分别以OA,OB所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,则AB所在直线的方程为x+y=1,设点P的坐标为(x,y),以点P为顶点的三个三角形的面积和为S,则S因为x+y+(
5、1-x-y)=1(定值),所以当且仅当x=y=1-x-y,即x=y时,x2+y2+(1-x-y)2有最小值所以面积S有最小值此时点P恰为△AOB的重心.-★9.设f(x)=l若≤a≤1,n∈N*,且n≥2,求证:f(2x)≥2f(x).证明∵f(2x)-=lg∴要证明f(2x)≥2f(x),-只要证明lg-≥2lg-即证明-≥也即证明n[12x+22x+…+(n-1)2x+a·n2x]≥[1x+2x+…+(n-1)x+a·nx]2.(*)∵0≤a≤1,∴a≥a2,根据柯西不等式,得n[12x+22x+…+(n-1)2x+a·n2x]≥
6、+[(n-1)x]2+(a·nx)2}≥[1x+2x+…+(n-1)x+a·nx]2,即个(*)式显然成立,故原不等式成立.
