2019版数学人教A版选修4-5训练：3.1 二维形式的柯西不等式 Word版含解析.pdf

《2019版数学人教A版选修4-5训练：3.1 二维形式的柯西不等式 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3解析：∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4,∴a2+b2≥2.故选C.答案：C2已知则的最小值是A解析：由得x+y≥当且仅当即x=5,y时,等号成立.答案：A3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A解析：2x2+3y2=[当且仅当2x=3y,即x时,等号成立.答案：B4函数y=--的最大值是A.3B解析：y2--≤[22+--=6当且仅当--即x时,等号成立.故y的最

2、大值为答案：C5已知x>0,y>0,且xy=1,则的最小值为A.4B.2C.1D解析：≥当且仅当x=y=1时,等号成立.答案：A6设x,y∈R,则(x+y)·的最小值是+答案：5+7已知a,b∈R,且a+b=1,则的最小值是+解析：因为a,b∈R,且a+b=1,所以由柯西不等式得+当且仅当时,等号成立,此时a答案：8函数y=3sinx+的最大值是解析：y=3sinx+x+≤当且仅当3

3、cosx

4、=4sinx时,等号成立.答案：59已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:

5、ax+by

6、≤1.证明：由柯西不等式,得

7、ax+by

8、≤当且

9、仅当ay=bx时,等号成立.10已知a>b>c,求证---分析：原不等式可变形为(a-c≥4.又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式证明即--可.证明：(a-c--=[(a-b)+(b-c)--=[----≥----当且仅当----即a-b=b-c时,等号成立.故原不等式成立.能力提升1已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是()A解析：2x+y≤当且仅当即x=y时,等号成立.故2x+y的最大值是答案：C2若x2+y2=8,则2x+y的最大值为()A.8B.4C.解析：∵(x2+y2)·(4+1)≥(2x+y)2,∴(2

10、x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)=max答案：C3若a+b=1,则的最小值为A.1B.2C解析：∵a+b=1,∴a2+b2·(1+1)≥又以上两个不等式都是当且仅当a=b时,等号成立,当且仅当a=b时,等号成立.答案：C4已知正数a,b满足a+b=2,则的最大值为AC解析：正数a,b满足a+b=2,则a+b+1=3,则(1·≤(12+12)[故故选C.答案：C5设xy>0,则的最小值为解析：原式≥当且仅当xy时,等号成立.故所求最小值为9.答案：96设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则2x+y

11、的最大值为.解析：由柯西不等式得(2x+y)2≤[=(3x2+2y2)·≤6当且仅当3x=4y,即x时,等号成立.因此2x+y的最大值为答案：7函数f(x)--的最大值为解析：f(x)--≤-当且仅当x=2时,等号成立.答案：8已知θ为锐角,a,b>0,求证:(a+b)2≤证明：设mn=(cosθ,sinθ),m·n

12、则

13、a+b

14、≤

15、m

16、

17、n

18、当且仅当a=kcos2θ,b=ksin2θ,k∈R时,等号成立.故(a+b)2≤★9在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形.解:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为-于是长方形ABCD

19、的周长l=2(x--由柯西不等式得l≤2[x2+-·2R=-当且仅当即x时,等号成立.此时--即长方形ABCD为正方形.故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为