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《高中数学人教A版选修4-5学案：第3讲1二维形式的柯西不等式含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三讲柯西不等式与排序不等式阶段1认知预习质疑（知识梳理要点初扌二维形式的柯西不等式I学习目标导航［基础•初探］教材整理二维形式的柯四不等式阅读教材卩31〜卩36,完成下列问题•内容等号成立的条件代数形式若ci,b,c,d都是实数，则(/+A认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.（难点）通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.（重点）)-(c2+2(qc+bdf当且仅当ad=bc时，等号成立向量形式设a,卩是两个向量，则当口仅当0是零向量，或存在实数使a=kp时，等号成立三角形式设兀1，歹1，兀2，力丘只，那么7*+说+y］
2、x2+yi列（兀1—X2）2+01—y2）2当且仅当P（X9Pi）,卩2（兀2，"2），0（0,0）三点共线且鬥，A在点0两旁时，等号成立O微体验o已知x+y=h那么2x2+3/的最小值是（）C.2536D・H【解析】2x2+3y2=(2x2+［小组合作型］类型1►二维柯西不等式的向量形式及应用卜例U已知p,g均为正数，且p3+q3=2.求证：p+qW2.【答案】B［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问］:解惑：疑问2:解惑：疑问3:解惑：阶段2介作探究通关（分组讨论疑难细究］【精彩点拨】为了
3、利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量.33丄丄【自主解答】设訂，n=,/）,则33p2+q2=p^p^+q^q^=m-n^i\=山'+『・山+9=yl2jp+q.又・・・（p+g）2W2（p2+『），Wp?+q2^［2yjp+q,W返Vp+q,则（〃+g）4W89+q）・又p+g>0,.•.(p+gfWS,故p+gW2.名师眉阿使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量•同吋，要注意向量模的计算公式对数学式子变形的影响.I再练一题］1.若本例的条件中，把“戸+『=2”改为“尸+『=2”
4、，试判断结论是否仍然成立？【解】设m=(p,q),巾=(1,1),则P~^ci=P'H-?*1=m-n^m-=y^F+c^-yj}2+12.又p2+q2=2.・・・p+gW返迈=2.故仍有结论p+qW2成立.类型2运用柯西不等式求最值若2x+3y=l,求4x2+9/的最小值.【精彩点拨】由2x+3y=l以及4x2+9/的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12+12)作为一个因式而解决问题.【自主解答】由柯西不等式得(4x2+9/)(12+12)(2x+3y)2=1.当且仅当2xXl=3yXl,即x=
5、,y=^时取等号
6、..4x2+9y2的最小值为*.1.利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑,保证出现常数结果.2.常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的.［再练一题］2.若3兀+纱=2,试求x2+y2的最小值及最小值点.【导学号：32750048］【解】由柯西不等式(x2)(32+42)(3x+4y)2,得25(x2+y2)^4,所以/+尹2$圭,3x+4y=2,当且仅当时，“=”成立.为求最小值点，需解方程组3=7“=_6_X=25J8lJ；
7、=25-因此,x=务，y=25时，“+尸取得最小值，最小值为寻，最小值点为(68)扬，25J探究点►二维柯西不等式代数形式的应用［探究共研型］探究在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成彳=专吗?【提示】不可以.当b・d=0时，柯西不等式成立，但彳=》不成立.卜例已知
8、3x+4y
9、=5,求证：x2+y2^}.【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明.【自主解答】由柯西不等式可知(x2+j^2)(32+42)(3x+4y)2,所以(兀?+(3x+4j)232+42•又因为
10、3x+4y
11、=5,所以
12、(3x+4jQ232+42名师应y即x2+y2^l.11.利用二维形式的柯西不等式证明吋，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形.1.变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题FI的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的木质，找到突破口.［再练一题］2123・设Q,XR+且a+b=2.求证：亍才•亍#2.【证明】根据柯西不等式，有2]=(a+b)2=4.——>:=7^2-a2-b^(2-a)+(2-b)f当且仅当产治=声•右,即a=b=时等号成立.•••
13、壬+总2.［构建•体系］—代数形式二维柯西不等式一—向量形式一三角形式一柯西不等式求最值阶段31.设兀,A.V13C・13【解析】‘体验落实评价yWR,且2x+3尹=13,则x2+y2的最小值为()B.169(课堂回馈即时达标JD.0
