高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式学案新人教a版选修4

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1、一　二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)[基础·初探]教材整理　二维形式的柯西不等式阅读教材P31～P36，完成下列问题．内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则

2、α·β

3、≤

4、α

5、

6、β

7、当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥

8、当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)A.B.C.D.【解析】　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]二维柯西不等式的向量形式及应用　已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.【精彩点拨】　为了利用柯西不等

9、式的向量形式，可分别构造两个向量．【自主解答】　设m＝p，q，n＝(p，q)，则p2＋q2＝pp＋qq＝

10、m·n

11、≤

12、m

13、

14、n

15、＝·＝.又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤，∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．又p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式

16、a

17、＝对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？【解

18、】　设m＝(p，q)，n＝(1,1)，则p＋q＝p·1＋q·1＝

19、m·n

20、≤

21、m

22、·

23、n

24、＝·.又p2＋q2＝2.∴p＋q≤·＝2.故仍有结论p＋q≤2成立.运用柯西不等式求最值　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．【精彩点拨】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥，当且仅当2x×1＝3y×1，即x＝，y＝时取等号．∴4

25、x2＋9y2的最小值为.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.【导学号：32750048】【解】　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.所以x2＋y2≥，当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组∴因此，当x

26、＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.[探究共研型]二维柯西不等式代数形式的应用探究　在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成＝吗？【提示】　不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．　已知

27、3x＋4y

28、＝5，求证：x2＋y2≥1.【精彩点拨】　探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．【自主解答】　由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥.又因为

29、3x＋4y

30、＝5，所以＝1，即x2＋y2≥1.1．利

31、用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.【证明】　根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2][＋]≥＝(a＋b)2＝4.∴＋≥＝2，当且仅当·＝·，即a＝b＝1时等号成立．∴＋≥2.[构建·体系]二维柯西不等式

32、—1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为(　　)A.B．169C．13D.0【解析】　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】　C2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)【导学号：32750049】A．2B.C．6D.12【解析】　(＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．故选D.