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时间:2018-12-17
《高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式学案新人教a版选修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一 二维形式的柯西不等式1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义.(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.(重点)[基础·初探]教材整理 二维形式的柯西不等式阅读教材P31~P36,完成下列问题.内容等号成立的条件代数形式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立向量形式设α,β是两个向量,则
2、α·β
3、≤
4、α
5、
6、β
7、当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立三角形式设x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥
8、当且仅当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且P1,P2在点O两旁时,等号成立已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是( )A.B.C.D.【解析】 2x2+3y2=(2x2+3y2)·≥=(x+y)2=.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]二维柯西不等式的向量形式及应用 已知p,q均为正数,且p3+q3=2.求证:p+q≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等
9、式的向量形式,可分别构造两个向量.【自主解答】 设m=p,q,n=(p,q),则p2+q2=pp+qq=
10、m·n
11、≤
12、m
13、
14、n
15、=·=.又∵(p+q)2≤2(p2+q2),∴≤p2+q2≤,∴≤·,则(p+q)4≤8(p+q).又p+q>0,∴(p+q)3≤8,故p+q≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式,关键是合理构造出两个向量.同时,要注意向量模的计算公式
16、a
17、=对数学式子变形的影响.[再练一题]1.若本例的条件中,把“p3+q3=2”改为“p2+q2=2”,试判断结论是否仍然成立?【解
18、】 设m=(p,q),n=(1,1),则p+q=p·1+q·1=
19、m·n
20、≤
21、m
22、·
23、n
24、=·.又p2+q2=2.∴p+q≤·=2.故仍有结论p+q≤2成立.运用柯西不等式求最值 若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.【精彩点拨】 由2x+3y=1以及4x2+9y2的形式,联系柯西不等式,可以通过构造(12+12)作为一个因式而解决问题.【自主解答】 由柯西不等式得(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1.∴4x2+9y2≥,当且仅当2x×1=3y×1,即x=,y=时取等号.∴4
25、x2+9y2的最小值为.1.利用柯西不等式求最值,不但要注意等号成立的条件,而且要善于配凑,保证出现常数结果.2.常用的配凑的技巧有:①巧拆常数;②重新安排某些项的次序;③适当添项;④适当改变结构,从而达到运用柯西不等式求最值的目的.[再练一题]2.若3x+4y=2,试求x2+y2的最小值及最小值点.【导学号:32750048】【解】 由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,得25(x2+y2)≥4.所以x2+y2≥,当且仅当=时,“=”成立.为求最小值点,需解方程组∴因此,当x
26、=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为,最小值点为.[探究共研型]二维柯西不等式代数形式的应用探究 在二维形式的柯西不等式中,取等号的条件可以写成=吗?【提示】 不可以.当b·d=0时,柯西不等式成立,但=不成立. 已知
27、3x+4y
28、=5,求证:x2+y2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系,设法构造柯西不等式进行证明.【自主解答】 由柯西不等式可知(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,所以(x2+y2)≥.又因为
29、3x+4y
30、=5,所以=1,即x2+y2≥1.1.利
31、用二维形式的柯西不等式证明时,要抓住柯西不等式的结构特征,必要时,需要将数学表达式适当变形.2.变形往往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口.[再练一题]3.设a,b∈R+且a+b=2.求证:+≥2.【证明】 根据柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]=[()2+()2][+]≥=(a+b)2=4.∴+≥=2,当且仅当·=·,即a=b=1时等号成立.∴+≥2.[构建·体系]二维柯西不等式
32、—1.设x,y∈R,且2x+3y=13,则x2+y2的最小值为( )A.B.169C.13D.0【解析】 (2x+3y)2≤(22+32)(x2+y2),∴x2+y2≥13.【答案】 C2.已知a,b∈R+,且a+b=1,则(+)2的最大值是( )【导学号:32750049】A.2B.C.6D.12【解析】 (+)2=(1×+1×)2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2[4(a+b)+2]=2×(4×1+2)=12,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.
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