高中数学人教A版选修4-5学案：第3讲2一般形式的柯西不等式含解析

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1、二一般形式的柯西不等式I学习目标导航1.掌握三维形式和多维形式的柯四不等式.（重点）2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.（重点、难点）阶段1认知预习质疑（知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理1三维形式的柯西不等式阅读教材P37~P38"探究”以上部分，完成下列问题.设G1，°2'°3'b,b?，贝!j（df+空+（関+屍+佛）M（Qjpi+610+生血£•当冃•仅当虹=虹=虹=0或存在一个数k,使得Q/=QQ=1,2,3）时，等号成立.我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式.。微体验0已知x,y,R+Kx+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是（）12A.1B.亍C.

2、§D・2【解析】根据柯西不等式，X2+>?2+z2=^（12+12+12）-（x2+j^2+z2）1Xx+1Xy+1Xz）2=*x+p+z）2=*【答案】B教材整理2—般形式的柯西不等式阅读教材P38~P40,完成下列问题.设4，。2'如'…'a”’bi，b»加，…，b”是实数，贝U（Q：+尼F+尿F说）2（Q丄如+©62HF宓如）2.当且仅当bi=0（Z=1,2,…，力或存在一个数匕使得偽=逊=1,2,・•・，〃）时，等号成立.O微体验O已知后+泾a„=1,x^=1,见I0必1+°2兀2偽並的最大值是（）A・1B・2C・3D.4【解析】（°1兀1+°2兀2禺%"）2£（玄+足怎）&

3、+兀彳瓷）=1X1=1,当且仅当严=/=…=¥=1时取等号,d1d2如•••0

4、兀1+°2兀2如V,?的最大值是1.【答案】A［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问］:解惑：疑问2:解惑:疑问3:解惑：阶段2介作探究通关（分组讨论疑难细究］［小组合作型］类型1利用柯西不等式求最值I23已知q,b,cW(O,+°°),：+了+7=2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值时ci,b,c的值.I?3【精彩点拨】由于扌+彳+7=2,可考虑把已知条件与待求式子结合起来,利用柯西不等式求解.【自主解答】・・・d,b,ce（O,+oo）,12123、尹尹7j©+

5、2b+3c)=[][(込)2+(姮『++诲)2］=(1+2+3)2=36.・・・d+2b+3c218,当且仅当a=b=c=3时等号成立,综上，当a=h=c=3时，a+2b+3c取得最小值利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件.［再练一题］1.已知x+4y+9z=l,求x2+y2+z2的最小值.【解】由柯西不等式，知(x+4y+9z)2^(12+42+92)(x2+y2+z2)=98(x2+y2+z2).当且仅当x=*=才又x+4y+9z=l,=§时,等号成立,129・••兀=宛，J;=49，2=宛时，（*）取等号.运用柯西不

6、等式求参数因此，x2+y2+z2的最小值为宛.的取值范围已知正数兀，yfz满足x+y+z=xyzf且不等式二^+门二+二恒成立，求久的取值范围.【精彩点拨】“恒成立”问题需求士+未+士的最大值，设法应用柯西不等式求最值.【自主解答】Vx>0,y>Ofz>0.且x+y+z=xyz.：.-+-+丄yzxzxy当且仅当x=y=z,即x=y=z=y［3时等号成立.・•・++士+士的最大值为¥・X十尹尹十ZZ十兀厶故*+丰+圭也恒成立时,应有久上¥・名师亞J因此久的取值范围是［爭，+s)1应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.I再练一题］1.已

7、知实数a,b,c,d满足a+b+c+〃=3,/+2员+3圧+6护=5,试求a的取值范R1.【导学号：32750052]【解】由a+b+c+〃=3,得b+c+〃=3—Q,由/+2b2+3c?+6孑=5,得2b2+3c2+6孑=5—cT,(2b2+3c2+6t/2)g+#+*)N(b+c+t/)2,即2/>2+3c2+6t/2^(Z)+c+J)2-由条件可得，5—/$(3—q)2,解得1WqW2,所以实数g的取值范围是[1,2].[探究共研型]利用柯西不等式证明不等式►探究在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai=g(i=1,2,3,…，〃)，可以吗？【提示】不可以.若伤=0而Q

8、/H0,则k不存在.»例81已知a,b,ceR+,求证：£+#+雳+方+》29.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，⑦务。2=bb=务b2=h9b3=~9而611)=612匕2=。3匕3=，因而得证.cWR+,【自主解答】•:a,b,c.a2]X[C・£+迸銚+沪・名师1・当如伤是正数时，柯四不等式变形为（。1+。2。”）（伤+加1-bn）2+7讪2V^A）2.2.本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯四不等式的条件.在运用柯西不等式时，要善于