现代控制理论第四章ppt课件.ppt

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1、第4章控制系统的稳定性分析3.1李雅普诺夫稳定性基本定理返回总目录3.2线性连续系统的稳定性分析3.3线性离散系统的稳定性分析3.4非线性连续系统的稳定性分析内容提示：本章论证控制系统的李雅普诺夫稳定性分析法，包括定常连续和离散、时变连续和离散四种线性系统、非线性连续系统等的稳定性分析及其MATLAB编程与计算等。3.1关于系统稳定性的基本概念1．系统自由运动数学描述受扰运动——任何一个处于平衡状态的控制系统，当受到扰动作用后，偏离其平衡状态进行运动。受扰自由运动——扰动消失以后的受扰运动。系统的受扰自由运动与控制作用无关。系统的稳定与否，与输

2、入无关，在研究稳定性时，只须依据自由运动数学模型，即齐次微分方程。非线性系统的齐次微分方程的一般形式为（时变）（定常）线性系统（时变）（定常）2．平衡状态平衡状态——系统运动形式保持恒定的状态，其数学描述是状态变量关于时间的导数等于0，即（非线性）（线性）为平衡状态线性系统：当非奇异时，有唯一的平衡状态当奇异时，有无穷多个平衡状态。非线性系统：常有多个平衡状态。3.李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫意义下的稳定性在平衡状态的邻域内，任意选定实数，如果存在，使得由满足另一实数的任意初始状态引发的系统自由运动总满足则称系统在处是李亚普诺夫意义下稳定的，

3、简称isL稳定。如果而与初始时刻无关，则称isL一致稳定。对于n阶系统，状态变量是n维向量，在状态空间，是欧几里得范数。isL稳定的几何意义是：由超球面内的任意初始状态引发的自由运动永远不会超出超球面。二阶系统isL稳定的几何意义示意图渐进稳定如果系统在处是isL稳定的，且则称系统在处是渐近稳定的。当系统在处是isL一致稳定时，称为一致渐近稳定。当时间足够大时，由偏离平衡状态的任意初始状态引发的自由运动最终趋于。2阶系统渐近稳定的几何意义全局渐进稳定如果为中的任意点，由引发的一切自由运动都是渐近稳定的，则称系统是全局渐近稳定的。当系统是全局渐近

4、稳定时，平衡状态一定是唯一的。对于非奇异线性系统，因平衡状态只有一个状态空间原点，只要渐近稳定，那必定也是全局渐近稳定。对于有多个平衡状态的非线性系统，渐近稳定一定是小范围的。不稳定如果在平衡状态的邻域内，不论该邻域多么小，对于任意选定，的实数均无法找到另一实数，使之满足isL稳定的条件，则称系统在该平衡状态是不稳定的。几何意义：只要偏离，由必定随时间的延续离而远去。它引发的2阶系统不稳定的几何意义4李雅普诺夫稳定性基本定理[定理1]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，而且（1）正定负定（2

5、）则系统在处渐近稳定。又当时，如果，那么系统全局渐近稳定。[定理2]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个满足系统齐次状态方程的具有连续一阶偏导数的，而且标量函数（2）负半定（1）正定外，不恒等于0。（3）除则系统在处渐近稳定。又当时，如果，那么系统全局渐近稳定。[定理3]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个满足系统齐次状态方程的具有连续一阶偏导数的，而且标量函数（1）正定（2）负半定则系统在处是isL稳定的。[定理4]在的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量，如果存在一个满足系统齐次状态方程

6、的具有连续一阶偏导数的，而且标量函数（1）正定（2）正定则系统在处是不稳定的。（2）以上定理均以为平衡状态，对于任意平衡状态，可通过线性坐标变换将其转化为0平衡状态，再应用定理进行分析。（1）以上定理关于稳定的条件对线性系统是充分必要条件，但对非线性系统是充分条件，而非充分必要条件。如果选取的标量函数满足稳定的条件，则可断定稳定。这样的标量函数称为李雅普诺夫V函数（简称李氏V函数）。但如果选取的标量函数不满足稳定的条件，对非线性系统不能就此断定不稳定。（3）以上定理均以标量函数为依据，该函数除了其中的必须满足系统齐次状态方程外并未有其它限制。因

7、此，能够判不是唯一的。李雅普诺夫稳定性定理之的随意性，使的选取没有章法可循，只能凭判断和经验通过试探选取。定系统稳定性的有广泛的适应性。但另一方面，也正是通常依据系统的广义能量和广义距离选取李氏V函数。（4）以上定理具有普遍意义，既适用于线性系统，也适用于非线性系统，即适用于定常系统，也适用于时变系统。5标量函数的定号性设Ω是包含状态空间原点的有限闭域，在Ω内是向量的标量函数且具有连续一阶偏导数：则有正定和半正定函数为正定函数当时当时为半正定函数当时当时负定和半负定函数为负定函数当时当时为半负定函数当时当时不定函数不定函数——不论闭域Ω多么小，

8、当时，可正可负6二次型函数的定号性二次型函数定义实对称矩阵根据西尔维斯特（Sylvester）准则，二次型函数的定号性等价于矩阵P的定号性。实对称矩阵