现代控制理论--- 课件 .ppt

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1、第二章线性动态系统的运动分析已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的系统状态运动或输出响应，实质上就是求解系统的状态方程并分析解的性质，以解析形式或数值形式得出系统状态的变化规律，属于定量分析。§1、线性定常系统的运动分析一、线性定常系统齐次状态方程的解齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程：设解为向量幂级数：代入状态方程得：等式两边同幂次项的系数应相等，即：将初始条件代入，有：状态方程的解可写为：仿照标量指数函数矩阵指数函数所以状态方程的解为：线性定常系统自由运动的状态可视为是由它的初始状态通过矩阵指数的转移作用而得到的，因此又将矩

2、阵指数称为线性定常系统的状态转移矩阵，记作。状态方程的解又可写为：当初始时刻时，初始条件成为自由运动的解为：矩阵指数函数为：二、状态转移矩阵的性质证：将代入即可证。结合性质1还可得出9．对应于对角阵的状态转移矩阵也是对角矩阵，为证：给出了状态方程的频域解法证：证：10．对应于（约当阵）的状态转移矩阵是一个右上三角阵：对于具有n个互不相同的特征值的系统矩阵A，由它们所对应的线性无关的n个特征向量构成的变换矩阵得：三、状态运动模态状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。系统的动态特性是由系统矩阵A的特征值决定的，称之为运动模态。其中：由状态转移矩阵的性质9有

3、进一步得到新的状态空间中的状态解：又把一个由决定的运动称为一个运动模态，它们决定了系统状态的运动特性，（包括稳定性、运动速度、运动方向等）。线性定常系统的状态解是由系统的n个特征值决定的指数函数的线性组合。所以：可以证明，对于共轭复数对特征值，采用实数化处理方法，得出的状态转移矩阵与先化为复数对角矩阵，然后再得出状态转移矩阵具有相同的结果。对于上一章所讨论的例子：已求得特征值为：对应的特征向量为：得特征值规范型变换矩阵及其逆阵分别为：欧拉公式采用实数化处理方法：对于共轭复数对特征值取变换矩阵为其中和分别是共轭复数对特征值对应的特征向量的实部和虚部列向量变换

4、后的系统矩阵为：将表示为：有：（因为满足状态转移矩阵性质6的乘法交换率）对于有：（性质9）对于有：台劳级数公式所以得：对于对应的特征向量为：变换矩阵P及其逆阵分别为：实数化处理得到的：的状态转移矩阵为：A的状态转移矩阵为：与直接用复数特征值求得的结果一致。四、矩阵指数的计算方法1．按定义求解一般不能写出闭合形式，只能得到数值结果，适合用计算机计算，以实际精度确定项数。2．频域法求解能得到闭合形式，不适合较高阶次系统。例2－3已知，求出状态转移矩阵。解：求逆得预解矩阵：所以有3．利用特征值规范型求解上例有，求得它的二个特征值为A矩阵具有能控规范型形式，有范德

5、蒙德矩阵依此类推，都可表示为的线性组合。可表示为的线性组合：4．应用凯莱－哈密顿（Cayley-Hamilton）定理求解（1）凯莱－哈密顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程：为A的特征多项式、…、A、I同理，对于有：、…、A、I（3）当矩阵A具有n个相同的特征值，且其几何重数时，上式的各项系数由下式决定：所以，在中，可以用性组合替代所有的无穷项级数和成为的有限项和的表达式，即、…、A、I的线，使、…、A、I（2）当矩阵A的n个特征值两两相异时，上式的各项系数由下式决定：（证明见教材p87）的状态转移矩阵。当A既具有重特征值又具有单特征值时，可由上面两种

6、情况的组合求得。例2－6应用凯莱－哈密顿定理求解矩阵A的特征多项式为解得特征值：有：得：方程二边左乘非齐次状态方程描述控制作用u(t)下系统的强迫运动。五、线性定常系统非齐次状态方程的解一般形式：当输入量为几种特定信号时，状态运动的表示式可以简单化。（1）时的脉冲响应：（2）时的阶跃响应：要求A矩阵的逆阵存在（3）时的斜坡响应：也要求A矩阵的逆阵存在也可以应用阶跃响应的式子。这时，先求出矩阵A的逆为：有：§2.线性时变系统的运动分析设解为解上述方程得即得,解变为解一．线性时变齐次状态方程的解代入原方程：有：解分两种情况：有：又：所以：以此类推，即可证明这时

7、由Peano-Baker级数求得。即有：或：两式不等，用Peano-Baker级数求：例2－9求解下面线性时变系统齐次状态方程，其初始条件为。……求得状态解为：二、时变系统状态转移矩阵的性质：定常系统状态转移矩阵的性质（10个）并不都适用时变系统，但有4个是共同的：三、时变非齐次状态方程的解有：零输入分量零初值分量一般需用计算机来求解。得：第一种情况例2－10设系统的初始状态为求系统在单位阶跃信号作用下的状态解和系统输出响应。代入，有：系统的状态解为：系统的输出响应为：§3、线性离散系统的运动分析一、离散系统状态方程的解（一）递推法求解1．定常系统状态方程

8、的求解几点说明：（1）如果初始时刻设为，则状态解应为：离散系统的状