现代控制理论――综合课件.ppt

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1、第五章线性多变量系统的综合与设计5.1引言描述分析解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)；综合与设计在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。5.1.1问题的提法给定系统的状态空间表达式若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、过渡过程时间、极、零点)，也可以是使某个性能函数取极

2、小或极大。此时，综合问题就是寻求一个控制作用，使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。对于线性输出反馈控制律其中为参考输入向量。对于线性状态反馈控制律由此构成的闭环反馈系统分别为或闭环反馈系统的系统矩阵分别为即或闭环传递函数矩阵作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即：1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。5.1.2性能指标的类型II.非优化型性能指标I.优化型性能指标镇定问题:渐近稳定作为性能指标极点配置问题:

3、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标解耦问题:MIMO系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标跟踪问题:使系统的输出无静差地跟踪外部信号称为最优控制（线性二次型最优控制，即LQ调节器问题）。和控制通常取为相对于状态的二次型积分性能指标，即其中加权阵或，且能观测。任务就是确定，使相应的性能指标极小。5.1.3研究综合问题的主要内容1、可综合条件2、控制规律的算法问题5.1.4工程实现中的一些理论问题1、状态重构问题2、鲁棒性(Robustness)问题3、抗外部干扰问题经典控制理论的系统综合中，不

4、管是频率法还是根轨迹法，本质上都可视为极点配置问题。5.2极点配置问题可证明，若被控系统状态能控，则可通过选取合适状态反馈增益矩阵，利用状态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。首先假定期望闭环极点为，,…，。以下仅研究控制输入为标量的情况！5.2.1问题的提法给定单输入单输出线性定常被控系统式中。选取线性反馈控制律为控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。该闭环系统状态方程的解为系统稳态响应特性由闭环系统矩阵的特征值决定。如果矩阵选取适当，可使矩阵构成一个渐近稳定矩阵，

5、此时对所有的为调节器极点。如果这些调节器极点均位于的左半平面内，则当将这种使闭环系统极点任意配置到所期望位置的问题，称极点配置问题。，当时，都可使。一般称矩阵的特征值时，有。5.2.2可配置条件如果选取控制规律为现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。考虑由式线性定常系统。假设控制输入的幅值是无约束的。式中为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统定理5.1(极点配置定理)线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全能控。证明：略现在考虑单输入

6、单输出系统极点配置的算法。给定线性定常系统若线性反馈控制律为则可由下列步骤确定使的特征值为，，…,（即闭环系统期望极点值）的线性反馈矩阵（如果是一个复数特征值，则其共轭必定也是的特征值）。第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。确定出的值。的征多项式第2步：利用系统矩阵5.2.3极点配置的算法第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。非奇异线性变换矩阵P可由下式给出若给定的状态方程已是能控标准形，那么P=I。第4步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的

7、特征多项式为并确定出的值。第5步：此时的状态反馈增益矩阵为闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n=3，则可将状态反馈增益矩阵K写为进而将此代入闭环系统的特征多项式，使其等于即如果n=2或者n=3，这种方法非常简便（对于n=4,5,6,…，这种方法可能非常繁琐）。还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K。下面介绍著名的爱克曼公式，可用来确定状态反馈增益矩阵K。注意，如果是低阶系统（），则将线性反馈增益矩阵K直接代入由于该特征方程的两端均为的多项式，故可通过使其两端的系数相等，来确定，，同次幂的值。5

8、.2.4爱克曼公式(Ackermann’sFormula)考虑系统，重写为假设该系统是状态完全能控，又设期望闭环极点为利用线性状态反馈控制律则所期望的特征方程为由于凯莱-哈密尔顿定理指出应满足其自身的特征方程，所以将系统状态方程改写为以此式来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n=3的情况。（需要指出的是，对任意正整数，下面推导可方便地加以推广。）考虑下列恒等式将上述方程分别乘以，并相加，则可得可得也可得到由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵的逆存在。在