现代控制理论第四章课件.ppt

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1、第四章线性系统的能控性与能观性4.1定常离散系统的能控性4.2定常连续系统的能控性4.3定常系统的能观性4.4线性时变系统的能控性及能观性4.5能控性及能观性的对偶关系4.6线性定常系统的结构分解4.7能控性、能观性与传递函数矩阵的关系4.8能控标准形和能观标准形4.9系统的实现两个基础性概念：能控性与能观性两个基本问题：在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的能控性问题。在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的能观性问题。桥形电路(a)两个电容相等。选各自

2、的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显然，它是不完全能控的。例4.0.1例4.0.2选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观测的。4.1定常离散系统的能控性4.1.1定常离散系统的能控性定义线性定常离散系统的状态方程(4.1.1)定义4.1.1对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)

3、，使系统从第k步的状态向量开始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。4.1.2单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程(4.1.2)定理4.1.1单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[b,Ab,…,An-1b]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成rankUc=rank[b,Ab,…,An-1b]=n.(4.1.5)例4.1.1满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。4.1.3多输入离散系统能控性的判定

4、条件多输入线性定常离散系统的状态方程(4.1.9)定理4.1.2多输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n.(4.1.10)…,多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。但多输入系统有以下特点：(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n×np矩阵。根据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。(2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许许多多的

5、方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。例4.1.2只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可4.2定常连续系统的能控性4.2.1线性定常连续系统的能控性定义线性定常连续系统的状态方程(4.2.1)定义4.2.1对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。定理4.2.1系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵的秩为n，即4.2.2线性定常连续

6、系统的能控性判据能控性判据的第一种形式此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非奇异的。注如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则系统的状态完全能控性的判据为易知例4.2.1考察如下系统的能控性其秩为3，该系统能控从而其秩为2，所以系统不能控例4.2.2判断线性定常系统注对照一下定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。定理4.2.2如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经

7、线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，它的状态方程其中，不包含元素全为0的行。能控性判据的第二种形式状态变量x3不受控制例4.2.3此系统是不能控的此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。例4.2.4下列系统是能控的定理4.2.3若线性定常系统的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是，经线性非奇