高等数学综合练习题答案.doc

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1、42．证：43．解：44．解：45．证：，，，46．证：47．证：48．解：49．解：，50．解：51．证：52．53．设函数在有界闭区域上连续，，试证在中至少存在一点，使。证：由于在有界闭域上连续，则在上有最大值和最小值，此时6分又由于在有界闭域上连续，由介值定理知在中至少存在一点，使54．证明曲面上任一点处的切平面都与平面垂直，其中函数具有一阶连续偏导数，为正常数，且。证：曲面上点处的切平面法向量平面法向量即故切平面垂直于平面。55．设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.56．设f(u)为可微函数，且f(0

2、)=0,证明57．设f(z)在[－1,1]上有连续的导函数，试证：证：58．证明：若与积分路径无关，其中P，Q有一阶连续偏导数，则积分也与积分路径无关(其中a,b,k为常数，且k≠0).59．已知曲线积分，其中C为x2+y2=R2(R>0)的正向。试问当R为何值时，使I达到最大值，并求出这个最大值。60．试证：存在，其中。证：定义，记，则由于可见：又收敛，故而收敛，从而存在。61．若正项级数收敛，则存在。证：记，于是由于收敛，有，从而有=1，因此级数收敛，则存在即存在。62．判别级数的敛散性，并求。令即由于收敛，所以收敛记其部分和为，于是有，且存在所以又故

3、而。63．设，且级数收敛，要证级数收敛，有人作出证明如下：因为收敛，所以，从而，由比值判别法知，正项级数收敛，上述证明对吗？如不对，给出正确证法。上述证法不对。因为比值判别法的逆命题不成立，即正项级数收敛，不能得到存在且小于1的结论，由存在，也不能得到存在的结论。正确证法：由已知条件可得，于是又知收敛，因此级数收敛。64．设数列单调减少趋近于零，证明级数收敛。证明：令又由有注意单调减少，则可得到，从而（8分）应用莱布尼兹判别法，知收敛。65．设是以为周期的可微周期函数，又设连续，是的Fourier系数。求证：。证：由分步积分法，对有又由连续，故存在，使当时

4、，。从而66．设是以为周期的可微函数,且分段连续。已知的Fourier系数为。求的Fourier系数。解：由Fourier系数的计算公式，。67．设又设是以为周期的函数的Fourier级数之和函数，求。解：68．求满足关系式的可微函数。解：取，得当时，由原式得于是，这与矛盾，故得（2分）由两边对求导取a=0代入并注意到得，这与矛盾，故得（2分）问题化为求解（6分）解此方程得（10分）69．若对平面上任何简单闭曲线，恒有，其中在内具有连续的一阶导数，且，试求。解：整理得（5分）解得由，求得，故（10分）68．设有可微函数满足，求所满足的微分方程。解：（3分）

5、（8分）故所满足的微分方程是（10分）69．证明：若有方程，则必有，并求解此方程。证：由于，两边关于求导得故得（1）（2分）解方程（1）得通解为（2）（4分）（3），将此代入(2),(3)得解得：（8分）所以原方程的解为：（10分）