高等数学 微分方程复习.doc

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1、第四章微分方程4.1方程分类与解法4.1.1一阶，可分离变量方程l一阶变量分离方程l齐次方程令，，4.1.2一阶线性非齐次方程齐次方程通解标准形通解伯努利方程令得4.1.3特殊二阶方程降阶法l微分方程接连积分n次，便得到微分方程的含有n个任意常数的通解。l令则l令则l首次积分方法若则称为方程0的首次积分。这样就把原方程降了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。4.1.4二阶（高阶）线性常系数方程1．线性方程解的结构理论定理1（叠加原理）设是齐次方程的解，则它们的线性组合也是齐次方程的解，其中是任意常数。定理2

2、设是非齐次方程的一个解，16是对应的齐次方程的解，则也是非齐次方程的解，其中是任意常数。定理3（二阶齐次线性微分方程通解的结构）设和是方程（3）的两个线性无关特解，则（是任意常数）是方程（3）的通解。对于二阶非齐次线性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构）设是方程（4）的一个特解，和是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则(5)是方程（4）的通解。2．齐次方程特征方程综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下：第一步写出微分方程的特征方程第二步求出特

3、征方程的两个根。第三步根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根给出一项16一对单复根k重实根k重复根给出两项给出k给出k项：项给出2k项：＋3．非齐次方程其通解是其中是对应齐次方程的解，是非齐次方程的解。特解k是特征根的重复次数，特解k是特征根的重复次数。4．欧拉方程令或，则，，…

4、若引入微分算子符号，则上述结果可简记为，…一般地4.2解法选例4.2.1基本题目类例1解首先观察此类方程：一阶，可分离变量，代入初值16故例2解首先观察此类方程：一阶，线性非齐次方程。例3令，，则，例4解例5解观察：一阶，齐次方程令代入方程消去得整理积分将代入得代入初值整理。例6解（1）令代入方程16或（舍不符合初值）积分即代初值代初值解（2）代初值，代初值例7填空a方程通解为（）b方程的通解为（））c方程的通解为（）d方程的通解为（4.2.2综合题目类例8设于上可导，，且其反函数为，若，求。解对求导，即，故

5、，即。例9于上可导。且满足（1）求（2）证明当时。解求导则16代初值得又故即。例10有连续一阶导数，且满足，求。解（注意到,）代入初值，积分，代初值得，则例11已知是方程的一个特解，求方程通解。解设也是方程的解，代入方程有整理取，，则。故是方程通解例12求解欧拉方程（1）；（2）。解（1）令则16特征方程为则。（2）令则特征方程：不是特征根，故设特解代入方程，则方程通解。例13求解方程解此方程是全微分方程。因为其原函数（势函数）即方程为或解则即是方程的解。例14已知是二阶线性齐次方程的解，试建立此方程解线性无

6、关，则是方程的通解（1）又（2）（3）联立（1）（3）求，代入（2）整理得16例15设，是的两个解，求值。解是解，则是特征根，是解，则是特征根，且是二重根。特征方程为即，比较原特征方程得。也可以将代入方程得；将代入方程得，从而，。例16已知的三个特解为试求特解。解非齐次方程的任两个特解之差是齐次方程特解，故是齐次方程的解，且线性无关，故是非齐次方程通解。代入初值，则从而特解为。4.3微分方程应用问题解题总的步骤（1）分析题意建立方程（2）依题意写出初始条件（3）识别方程类型解方程4.3.1几何问题例1设曲线过

7、点，曲线上任一点处的切线交轴于点，若16（是原点），求的方程。解1.列方程切线方程为令的（＝OT）

8、PT

9、＝，由整理得2．结合初值条件得初值问题3．方程是齐次方程令代入方程消去得整理积分将代入得代入初值整理。例2设函数二阶可导，且，。过曲线上任一点作切线及轴的垂线，上述两条直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形的面积记为，且，求曲线。解在点处的切线方程为它与轴的交点为，由知，于是16又，由得由此知，上式两端对求导并化简得令，则方程变形为由，即，故有解得代入初始条件得，即于是代入初始条件，得

10、故所求曲线为。例3位于坐标原点的我舰向位于点处的敌舰发射制导鱼雷，设鱼雷永远对准敌舰，已知敌舰航速为。在直线上行驶，鱼雷速度为。求鱼雷航迹曲线。又敌舰行驶多远时被鱼雷击中？解如图，设时刻鱼雷行至点，敌舰至T点，则。。以下求

11、AT

12、。过点P的切线方程为，令，（＝AT）故得方程：求导整理得解方程：将代入16（即平方：）代入初值故当，击中。小结：用几何关系建立方程4.3.2物理问题例4物理问题从船上向海中