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1、第八章常微分方程一、本章学习要求与内容提要（一)基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念。2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法。3．了解二阶线性微分方程解的结构。4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.5．会求自由项为或，时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解。6。知道特殊的高阶微分方程(，,)的降阶法。7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点微分方程的通解与特解等概念,一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构
2、,二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.（二）内容提要⒈微分方程的基本概念⑴微分方程的定义①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。本书只讨论常微分方程，简称微分方程。⑵微分方程的阶、解与通解微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微
3、分方程的阶。如果把函数代入微分方程后,能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解。若微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解。⑶初始条件与特解用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。⑷独立的任意常数①线性相关与线性无关设是定义在区间内的函数,若存在两个不全为零的数,使得对于区间内的任一，恒有成立，则称函数在区间内线性相关，否则称为线性无关.显然，函数线性
4、相关的充分必要条件是在区间内恒为常数.如果不恒为常数，则在区间内线性无关.②独立的任意常数在表达式（，为任意常数)中，,为独立的任意常数的充分必要条件为,线性无关.2。可分离变量的微分方程⑴定义形如的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是的函数，另一个仅是的函数，即分别是变量的已知连续函数.⑵求解方法可分离变量的微分方程的求解方法，一般有如下两步:第一步:分离变量，第二步：两边积分.3。线性微分方程 ⑴ 一阶线性微分方程①定义形如.的微分方程,称
5、为一阶线性微分方程，其中都是的已知连续函数,“线性”是指未知函数和它的导数都是一次的.②求解方法一阶线性微分方程的求解方法,一般有如下两步：第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程所对应的齐次线性微分方程的通解。第二步:设为一阶线性微分方程的解，代入该方程后,求出待定函数。第三步：将代入中,得所求一阶线性微分方程的通解。注意只要一阶线性微分方程是的标准形式，则将代入一阶线性微分方程后，整理化简后，必有,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中，以简化运算过程.③一阶线性微分方程的求解公式(其中为任意常
6、数）。⑵ 二阶常系数齐次线性微分方程①定义 形如的微分方程（其中均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程.②求解方法求解二阶常系数齐次线性微分方程，一般分为如下三步：第一步写出方程的特征方程，第二步求出特征方程的两个特征根,，第三步根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出的通解.有两个不同特征实根有两个相同特征实根有一对共轭复根i⑶二阶常系数非齐次线性微分方程①定义 形如的微分方程（其中均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程。②求解方法求解二阶常系数非齐次线性微分方程,一般分为如下三步:
7、第一步先求出非齐次线性微分方程所对应的齐次线性微分方程方程的通解；第二步根据下表设出非齐次线性微分方程的含待定常数的特解，并将代入非齐次线性微分方程解出待定常数,进而确定非齐次方程的一个特解；第三步写出非齐次线性微分方程的通解.方程的特解的形式表自由项的形式特解的形式的设法不是特征根是特征单根是二重特征根或①令，构造辅助方程=②求出辅助方程的特解③则是方程特解是方程特解注：表中的为已知的次多项式，为待定的次多项式,如（为待定常数）.4。二阶线性微分方程解的结构⑴二阶齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数
8、和是齐次线性微分方程的两个解，则函数也是方程的解；且当与线性无关时，就是方程的通解（其中是任意常数）.⑵非齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数为非齐次线性微分方程的一个特解，为齐次线性微分方程的通解，则为该非齐次线性微分方程的通解。⑶非齐次线性微分方程解的分离定理如果是方程的解，是方程的解,则是方程的解。5。高阶微分方程的降阶法方程的形式引入的形式降阶后的方程设设则对方程两边逐次积分次，即可得到该方程的通解二、主要解题方法1．一阶微分方程的解法例1求微分
