微分方程高等数学

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1、第十一章微分方程一、内容分析及教学建议微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。实际上微分方程问题，早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。（一）微分方程的概念从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意：①通解中所含任意常数的个数不是形式上，

2、而是实质上的；②微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。例如：函数是微分方程的解，,此解不是通解，也不是特解。(二)一阶微分方程的解法1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解；如，改写为（关于的一阶线性微分方程等）；2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容；3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如，即可；4、关于一阶

3、线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；5、对于全微分方程求解，涉及到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”一章注解），关于积分因子，主要取决于微分的熟练，但教学中要求不高；6、关于贝努利方程，注意：，这里可放宽到任意实数仍成立。(三)可降阶的高阶微分方程1、三种常见的类型：，，共同的思路是通过变量代换进行降阶，教学中注意形式上的比较及变量代换的作用，尤其是讲清中为什么用而不用；2、形如的方程，既属于型，又属于型，求解时，应选择较为简单的方

4、法；3、如果可降阶的高阶微分方程是常系数线性微分方程，则可用求特征方程根的代数方法求解，尽量不用降阶法，可避免求解积分的繁复计算；（四）高阶线性微分方程1、关于解的性质，首先要引入线性相关与无关的概念，如果未学线性代数，则主要是以解释为主；2、一定要让学生明白解的结构，为后面具体求解奠定基础；3、基础较好的班级可选讲二阶线性非齐次方程的常数变易法；4、对于二阶常系数非齐次方程特解的求解，讲课时由易到难，由简单到复杂，先从开始，再讨论，最后再介绍一般的类型，循序渐进，逐一讨论，易于接受。（五）微分方程的应用问题应用微分方程

5、解决实际问题，是数学建模的一个重要组成部分，另外在近几年的考研命题中比重有所加大，教学中予以重视，这类问题一般按以下步骤求解。ⅰ）对实际问题作出简化假设；ⅱ）根据题意，建立微分方程，列出初始条件；ⅲ）应用适当的变量代换化微分方程为标准的可解方程，然后求解。当然，教学的基本要求是应用解决一些简单的几何和物理问题，关键仍是教学生解决此类问题的分析思路。（六）通过具体例子讲述微分方程的级数解，使学生会处理一些简单的级数解法。二、补充例题例1求解下列微分方程①，②解①:令，则，于是，，，由初值问题，故所给方程特解.②原方程可改写

6、为,.令，则有：，，原方程通解为.例2.设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求.解：由题设及高斯公式得：其中为围成的有界闭区域，当有向曲面的法向量指向外侧时，取“+”号，当有向曲面的法向量指向内侧时，取“-”号，由的任意性知，即，这是一阶线性非齐次方程，由通解公式有由于，故必有：，即，从而例3.设方程的一个特解为，试确定，，的值，并求该方程通解.解：把代入方程整理得解得：，，原方程为：对应齐次方程通解为，由于为方程的特解，而是对应齐次方程的解，因此为原方程的特解，所以方程的通解为.另

7、一解法：因为特解中含有项，表明1为对应齐次方程的一个特征根，特解中含有项，知2是另一特征根，特征方程为：，原方程为，，，由于对应齐次方程的通解为，知为方程的特解，代入方程得：方程的通解为.例3.设，其中连续，求.解：等式两端对求导得：再求导得：令,得在中令，从而和初始条件，,得初值问题对应齐次方程通解为设原方程的特解为代入方程化简，解得，,即方程的通解为由初始条件得，得初值问题的解例4.假设对任意，曲线点处切线在轴上截距为，求的一般表达式.解：曲线在点处切线方程令，得截距由题意：即上式两端对2求导，化简得：即，，（，为任

8、意常数）.例3.已知函数具有二阶连续导数且，，已知曲线积分与路径无关，求.解：曲线积分与路径无关，，故即即对应齐次方程特征方程为齐次方程通解为由于是特征根，故设代入方程，所以方程通解为再由得，可定出所求函数为.例4.已知，若把成因变量，看作自变量，则方程化为为什么形式？并求此方程的通解.解：对，两边关于求导得代入原方