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1、微分方程求解总结求解流程图1.折线积分2.凑全微分3.定积分转为z的一阶线性关于u一阶二阶变系数二阶一阶二阶常系数解的结构P338P348一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程机动目录上页下页返回结束例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解机动目录上页下页返回结束方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变
2、量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为机动目录上页下页返回结束方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式故这是一个全微分方程.机动目录上页下页返回结束例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为机动目录上页下页返回结束令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为机动目录上页下页返回结束变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:机动目录上页下页返回结束例3.机动目录上页下页返回结束设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求
3、F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:机动目录上页下页返回结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353题2求以为通解的微分方程.提示:消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:这是一阶线性方程,其中P353题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)机动目录上页下页返回结束提示:可化为关于x的一阶线性方程提示:为贝努里方程,令提示:为全微分方程,通解提示:可化为贝努里方程令微
4、分倒推公式机动目录上页下页返回结束原方程化为,即则故原方程通解提示:令机动目录上页下页返回结束二、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解机动目录上页下页返回结束2.二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次代数法欧拉方程机动目录上页下页返回结束二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程(2)求出特征方程的两个根(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解求解二阶常系数线性方程非齐通解齐次通解非齐特解难点：如何求特解？方法：待定系数法.(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.解答提
5、示P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P353题3求下列微分方程的通解提示:(6)令则方程变为机动目录上页下页返回结束特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若(7)中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化?机动目录上页下页返回结束P354题4(2)求解提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?机动目录上页下页返回结束P354题8设函数在r>0内满足拉普拉斯方程二阶可导,且试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提
6、示:利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为机动目录上页下页返回结束解初值问题:则原方程化为通解:利用初始条件得特解:机动目录上页下页返回结束特征根:例1.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得机动目录上页下页返回结束处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动目录上页下页返回结束例2.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得机动目录上页下页返回结束思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:机动目录上页下页返回结束的解.例3.设函数内具有连续二阶导机动目录上页下页返回结束(1)试将x＝x(
7、y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)机动目录上页下页返回结束代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:题目录上页下页返回结束由初始条件得故所求初值问题的解为例4.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:②(G为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度
8、机动目录上页下页返回结束
