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1、１９第11章常微分方程习题课一.内容提要1.基本概念含有一元未知函数(即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间上成为恒等式的函数称为此微分方程在上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若阶微分方程的解中含有个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出在同一点处的值)时,称为初值
2、问题.2.一阶微分方程的解法(1)对于可分离变量方程,先分离变量(当时)得,再两边积分即得通解.(2)对于齐次方程,作变量代换,即,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得,再以代替便得到齐次方程的通解.１９１９(3)形如的方程,①若均为零,则是齐次方程;②若不全为零,则不是齐次方程,但当时,只要作变换,即可化为可分离变量的方程;当时,只要作平移变换,即(其中是线性方程组的惟一解),便可化为齐次方程.(4)全微分方程若方程之左端是某个二元函数的全微分,则称其为全微分方程,显然即为通解,而原函
3、数可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件来判定是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的,可乘上一个函数使之成为全微分方程(注意到当时与原方程同解),１９１９并称为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程的通解公式当不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当恒为零,时,即称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解.(6)对于Bernoulli方程(),只需作变换,即
4、可化为一阶线性方程.3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程,令化为;在实际求解中,只要对方程连续积分次,即得其通解.(2)对于(不显含),作变换,则,于是化一阶方程;显然对可作类似处理.(3)对于(不显含),作变换,则,于是可化为一阶方程.4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质１９１９对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程解的结构若是阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为.(3)线性非齐次微分方程解的
5、结构线性非齐次微分方程的通解,等于其对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解之和,即.(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1设()是方程的解,则是方程的解.2若实变量的复值函数是方程的解,则此解的实部是方程的解;虚部是方程的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系１９１９线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1写出的特征方程，并求特征根；2根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表)特征
6、根为给出通解中的单实根1项:重实根项:一对单复根2项:一对重复根2项:(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解对于,应设特解,其中等于为特征根的重数(),是待定系数.将代入原方程,可定出,从而求得.对于(),应设特解,１９１９其中等于为特征根的重数(),是待定的次多项式.将代原方程,即可定出,从而求得.或因为（其中是次的复系数多项式）.对于方程可设其特解，（是次待定复系数多项式，等于为特征根的重数），将代入方程中，可定出，于是，从而原方程的特解.特例求得6.Euler方程的
7、解法１９１９(1)形如的线性变系数微分方程称为Euler方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.(2)解法只需作变换,即,即可将其化为常系数线性微分方程.若引入微分算子,则,,,于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7.应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1)在适当的坐标系下,设出未知函数,据已知条件写出相关的量;(2)根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;(3)提出定解条件;(4)求定解问题的解;(5)分析解的性质，用实践检验解的正确性.二.课堂
8、练习(除补充题外,均选自复习题12)1.填空题１９１９(1)已知及是方程的解,则其通解为.解:因,都是解,且线性无关,故是通解.(2)设一质量为的物体,在空气中由静止开始下落.若空气阻力为,则其下落的距离所满足的微分方程是,初始条件是.解:因为,而,,,故得方程,化简得;在如图所示的坐标系下,初始条件为.(3)微分方程的特解的形式为.解:因为特征方程为,,而是二重特征根,故应设.(4)若都是线性非齐次微分方程的解,则其通解为.解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知,,
