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1、第11章常微分方程习题课一.内容提要1.基本概念含有一元未知函数y(x)(即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的y(x)的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I上成为恒等式的函数y(x)称为此微分方程在I上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n阶微分方程的解中含有n个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给
2、出y,y,,y(n1)在同一点x0处的值)时,称为初值问题.2.一阶微分方程yf(x,y)的解法(1)对于可分离变量方程dy(x)(y),dx先分离变量(当(y)0时)得dy(x)dx,ψ(y)再两边积分即得通解dy(x)dxC.(y)dyfy,x(2)对于齐次方程dx作变量代换y,即yxu,可将其化为可分离变量的方程,分xu离变量后,积分得dudxC再以y代替u便得到齐次方f(u)ux,x１/19程的通解.(3)形如dyf(axbyc)的方程,dxa1xb1yc1①若c,c1均为零,则是齐次方程
3、;②若c,c1不全为零,则不是齐次方程,但当abk时,只要作变换va1xb1y,即可化为可分离a1b1变量的方程dvb1f(kvc)a1;dxvc1当ab时,只要作平移变换Xxx0,即a1b1Yyy0xXx0(其中(x0,y0)是线性方程组axbyc0的惟一yYy0a1xb1yc10解),便可化为齐次方程dYf(aXbY).dXa1Xb1Y(4)全微分方程若方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0之左端是某个二元函数uu(x,y)的全微分,则称其为全微分方程,显然u(x,y)C即为通解,而原函数u(
4、x,y)可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件PQ来判定P(x,y)dxQ(x,y)dy0是否yx为全微分方程.对于某些不是全微分方程的P(x,y)dxQ(x,y)dy0,可乘上一个函数(,x,y)使之成为全微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0２/19(注意到当(x,y)0时P(x,y)dxQ(x,y)dy0与原方程同解),并称(,x,y)为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程yp(x)yQ(x)的通解公式当Q(x)不恒为零时,
5、称其为一阶线性非齐次微分方程;当Q(x)恒为零,时,即yp(x)y0称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为YCep(x)dx;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解yep(x)dx(CQ(x)ep(x)dxdx).(6)对于Bernoulli方程yp(x)yQ(x)yn(n0,1),只需作变换zy1n,即可化为一阶线性方程dz(1n)p(x)z(1n)Q(x).dx3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程y(n)f(x)
6、,令zy(n1)化为zf(x);在实际求解中,只要对方程连续积分n次,即得其通解ydxf(x)dxC1xn1Cn1xCn.n次(2)对于yf(x,y)(不显含y),作变换Py,则yP,于是化一阶方程Pf(x,P);显然对y(n)f(x,y(n1))可作类似处理.(3)对于yf(y,y)(不显含x),作变换Py,则yPdP,于是dy可化为一阶方程PdPf(y,P).dy３/194.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程
7、解的结构若y1,y2,,yn是n阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为Yc1y1c2y2cnyn.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y,等于其对应的齐次方程的通解Y与其自身的一个特解y之和,即yYy.(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1设yk(k1,2,,m)是方程y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yfk(x)m的解,则yk是方程k1y(n)p1(x)y(n1)mpn1(x)ypn(x)yfk(x)k1的解.2若实变量的复值函数u(x)iv(x)是方程
8、y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf1(x)if2(x)的解,则此解的实部u(x)是方程y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf1(x)的解;虚部v(x)是方程４/19y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf2(x)的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1写出y(n)p1y(n1)pn1yp
