（高等数学）常微分方程

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1、第十三章常微分方程在研究客观现象时，常常遇到这样一类数学问题，即其中某个变量和其他变量之间的函数依赖关系是未知的，但是这个未知的函数关系以及它的某些阶的导数（或微分）连同自变量都由一个已知的方程联系在一起,这样的方程称为微分方程.如果未知函数是一元的，那末对应的微分方程称为常微分方程;如果未知函数是多元的，那末对应的微分方程称为偏微分方程.这一章介绍常微分方程，第十四章介绍偏微分方程.本章主要内容是介绍几类可以用分析方法求解的方程，如某些一阶微分方程，常系数线性微分方程，某些高阶微分方程和微分方程组.对于那些不能用分析

2、方法求解的方程，介绍研究解的某些性质的方法（稳定性理论大意），或者用一些特殊的方法求出常微分方程的近似解（主要是数值解法）.§1微分方程的一般概念2ndydydy微分方程是联系自变量x，未知函数y和它的某些阶导数,,...,的关系式：2ndxdxdx2n⎛dydydy⎞F⎜x,y,,,...,⎟=0⎜2n⎟⎝dxdxdx⎠[微分方程的阶数]方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶.24例如:yyx′′+′=是二阶常微分方程.[微分方程的次数]如果能把微分方程化作对所有导数的有理整式，则其中最高阶导数1的次数，称

3、为微分方程的次数.并不是所有微分方程都有次数.例如：yy′′=+(1′)2是一个二阶12二次方程，因有理化后可得y′′=1+y′，而y′′=()1+y2是二阶一次方程，方程lnyy′′=1+′没有次数可说.[微分方程的解]使常微分方程成为恒等式的变量之间的关系式都是该常微分方程的解.如果关系式是隐式，这种解又称为积分.微分方程的解的求法也可称为微分方程的积分法.微分方程的每一个解的图形又称为微分方程的积分曲线.[微分方程的通解]如果在微分方程的解式中,所含的独立的任意常数（如果一个解中的常数可取任意值，称它为任意常数）

4、的个数等于这个微分方程的阶数，那末这解式称为微分方程的通解.n阶微分方程的通解表达式中含有n个彼此独立的任意常数.[微分方程的特解]相对于通解而言，微分方程的每一个解称为特解.[初值问题]如果在自变量某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为初值问题.[边值问题]如果在自变量一个以上的值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为边值问题.§2一阶微分方程一、一阶微分方程解的存在和唯一性一阶微分方程的一般形式是F(x,y,y′)=0∂F如果在所考虑的区域上≠0，那末根据

5、隐函数存在定理（第五章§3，四，2），解∂y′出y′得dy=f()x,ydx或者写成对称形式M(x,y)dx+N(x,y)dy=0[解的存在和唯一性定理]给定微分方程dy=f()x,ydx及初始值()x,y.00设f()x,y在闭区域R：x−x≤a,y−y≤b(a>,0b>0)00dy上连续，那末方程=f()x,y至少存在一个解，它在x=x处取值y，同时在包含x的某一000dx区间上确定且连续（此定理称为柯西存在定理）.如果在R内对变数y还满足李普希茨条件，即存在正数N，使得对于R内的任意两值y1和y，下面不等式成立：

6、2f()x,y−f(x,y)≤Ny−y1212那末这个解还是唯一的.二、可积类型及其通解（表中c为任意常数）方程类型解法要点与通解表达式1．变量可分离方程分离变量，两边同除以g1(y)f2(x),再分别积分.f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0f(x)g(y)12∫dx+∫dy=cf(x)g(y)212.齐次方程ydydu令=u,即y=ux,=u+xdyyxdxdx=F()dxx代入原方程，得新未知函数u关于自变量x的方yyyy程：一般假设F()≠,若F()=,xxxxxdu=[F(u)–u]dx则变

7、量可分离，属类型1再按类型1求解.dulnx=∫+lncF(u)−udu∫F(u)−uy或x=ce(u=)x3．线性方程先求出所对应的齐次线性方程y′+p(x)y=0方程类型解法要点与通解表达式dy的通解y=ce−∫p(xd)x+p(x)y=q(x)dx再利用常数变易法(本章§3,二,2),令当q(x)≡0,称为齐次线性方程，−∫p(xd)xy=c(x)e当q(x)=−/0,称为非齐次线性方程算出y′,代入原来的非齐次线性方程,可得∫p(xd)xc(x)=∫q(x)edx+c−∫p(xd)x∫p(xd)xy=e[∫q(

8、x)edx+c]1−n4．伯努利方程利用变量替换z=y化原方程为关于新未知dy+p(x)y=q(x)yn(n≠)1,0函数z(x)的线性方程，再按类型3求解.dx1−n1(−n)∫p(xd)xye1(−n)∫p(xd)x=1(−n)∫q(x)edx+c5．全（恰当）微分方程方程可写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y