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1、微分方程第十二章习题课二、一阶微分方程求解三、可降阶的高阶微分方程求解一、微分方程的概念四、常系数齐次线性微分方程求解【例】一、微分方程的概念常微分方程偏微分方程含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程.(本章内容)分类方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是或【分类1】常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程【分类2】【分类3】线性与非线性微分方程.【分类4】单个微分方程与微分方程组.引例2---使方程成为恒等式的函数.通解---解中所含独立的任意常数的个数与方程---确定通解中任意常数的条件.n阶方程
2、的初始条件(或初值条件):的阶数相等.特解引例1通解:特解:微分方程的解---不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.待定系数法基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程特征方程法主要内容作变换微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换积分因子转化1、可分离变量微分方程解分离变量
3、方程可分离变量方程二、一阶微分方程求解两边积分,得则有2、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2）.【解法】作变量代换代入原式可分离变量的方程1）.【定义】属于一阶微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.3、线性方程【例如】线性的;非线性的.一阶线性微分方程的解法1）.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为2）.解非齐次方程对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换非齐次方程两端积分得伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.3）、伯努利方程【解法】需经过变量代换化为一阶
4、线性微分方程.令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.(关于z,x的一阶线性方程)【例1】求下列方程的通解［提示］(1)故为分离变量方程:通解方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为［方法1］这是一个齐次方程.［方法2］化为微分形式故这是一个全微分方程.【例2】求下列方程的通解:［提示］(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为【例3】【解】识别下列一阶微分方程的类型，并求解①可分离变量的微分方程②齐次方程③一阶线性齐次方程④全微分方程通解为所求通解
5、为①②【解】①②所求通解为①齐次方程②【解】【解】[作业:P268;同济p304、p309、同济p315]【特点】方程右端仅含有自变量x.【解法】连续积分n次就可得到方程的通解三、可降阶的高阶微分方程求解【方程特点】方程右端不显含未知函数y则为所求方程的通解.【例3】求微分方程的通解【解】方程不显含自变量x代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为1、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式四、常系数齐次线性微分方程求解2、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法称②为微分方程①的特征方程,1）.当特征方程
6、②有两个相异实根因此方程的通解为①②则微分其根称为特征根.2）.当特征方程②有两个相等实根则微分因此方程的通解为3）.当特征方程②有一对共轭复根则微分因此方程的通解为【例1】的通解.【解】特征方程特征根:因此原方程的通解为【例2】求解初值问题【解】特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为【解】特征方程为解得故所求通解为【例3】3.［二阶常系数线性非齐次微分方程］根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解【求特解的方法】根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法［f(x)常见类型］［对应齐次方程］［通
7、解结构］【难点】如何求特解？对非齐次方程则可设特解:为特征方程的k重根(k=0,1),可设特解【例4】的通解.【解】本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为【例5】的一个特解.【解Ⅰ】本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解【作业:P268;同济p323;p340】祝同学们快乐！
