高等数学微分方程试题.doc

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1、第十二章微分方程§12-1微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce(c的任意常数)是=2x的特解。()2.y=()是二阶微分方程。()3.微分方程的通解包含了所有特解。()4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。2.函数y=3sinx-4cosx微分方程的解。3.积分曲线y=(c+cx)e中满足yx=0=0,x=0=1的曲线是。三、选择题1．下列方程中是常微分方程（A）、x2+y2=a2(B)、y+(C)、+=0（D）、=

2、x2+y22.下列方程中是二阶微分方程（A）（）+x2+x2=0(B)()2+3x2y=x3(C)+3+y=0(D)-y2=sinx3.微分方程+w2y=0的通解是其中c.c1.c2均为任意常数（A）y=ccoswx(B)y=csinwx(C)y=c1coswx+c2sinwx(D)y=ccoswx+csinwx4.C是任意常数，则微分方程=的一个特解是（A）y-=(x+2)3(B)y=x3+1(C)y=(x+c)3(D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。1．（其中为任意常数）2.（其中为任意常数）五、质量为m的物体自液面上方高为h处由

3、静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。12-2可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02．(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=03．(ex+y-ex)dx+(ex+y-ey)dy=04．=cos(x-y).(提示令.x-y=z)二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解1．cosydx+(1+e-x)sinydy=0.yx=0=2.三、设f(x)=x+f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)四、求一曲线的方

4、程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。12-2齐次方程一、求下列齐次方程的通解1-xsin2(x+ycosdx-xcosdy=0二求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1．xy=x2+y2yx=e=2e2.x2dy+(xy-y2)dx=0yx=1=1三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解四、设有连结点O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲线孤对于上任一点P（x，y）,曲线孤与直线段所围图形的面积为x2

5、，求曲线孤的方程。12.4一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解1.x+y=xex2.+ytanx=sin2x3.+4.二、求下列微分方程满足初始条件的特解1．cosy+siny=xy2.(2x+1)ey2ey=4y三、已知f(),曲线积分与路径无关，求函数f(x).四、质量为M0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。五、求下列伯努利方程的通解1．y′+2y52.xy′+y-y2lnx=012-2全微分方程一、求下列方程通解1．[co

6、s(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.eydx+(xey-2y)dy=0二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解1ydx-xdy+y2xdx=02y(2xy+ex)dx-exdy=0三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。12-7可降阶的高阶微分方程一、求下列各微分方程的通解1．=xsinx2.-=x3.y+()2=4.(1+ex)+=0二、求

7、下列各微分方程满足所给初始条件的特解1．2=sin2yy2.x-ln+lnx=0y三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及(x)-,求f(x).四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。12-8高阶线性的微分方程一、选择题1．下列方程中为线性微分方程（A）（）+x=x(B)y(C)(D)2.已知函数y1=，y1=，y3=e(x-则（A）仅y1与y2线性相关（B）仅y2与y3线性相关（C）仅y1与y3线性相关（D）它们两两线性相关3．若y1和y2是二阶齐次线性

8、方程，+p(x)+4(x)y=0两个特解，c1c2为任意常数，则y