复变函数-经典授课课件.ppt

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1、引言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到

2、C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数

3、领域的推广和发展。第一章复数与复变函数§1.1复数及其表示法一对有序实数（）构成一个复数，记为.自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为Z的共轭复数。与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相

4、等特别地，1.代数形式:复数的表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴2)向量表示----复数z的辐角(argument)记作Argz=q.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足-p

5、z

6、=r----复数z的模当z=0时,

7、z

8、=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:2.指数形式与三角形式利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsin

9、q,可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=

10、z

11、=1,又因此练习：写出的辐角和它的指数形式。解：§1.2复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四则运算加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何

12、意义:,,,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.几何上z1z2相当于将z2的模扩大

13、z1

14、倍并旋转一个角度Argz1.01例2：设求：解：若取则若取则;按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.2.乘方与开方运算1）乘方DeM

15、oivre公式：2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为于是推得从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例2求[解]因为所以即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例3将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表

16、示.[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-